Номер 3.91, страница 253 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.91. Найдите промежутки убывания функции $f(x)=\frac{3}{x}-8x$.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах эта производная принимает отрицательные значения.

1. Область определения функции

Исходная функция: $f(x) = \frac{3}{x} - 8x$.

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. В данном случае, $x \neq 0$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Нахождение производной

Найдём производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = \left(\frac{3}{x} - 8x\right)' = (3x^{-1})' - (8x)'$

Применяя правило для степенной функции и производной линейной функции, получаем:

$f'(x) = 3 \cdot (-1)x^{-2} - 8 = -3x^{-2} - 8$

Запишем производную в виде дроби:

$f'(x) = -\frac{3}{x^2} - 8$

3. Анализ знака производной

Функция убывает на тех промежутках, где её производная отрицательна, то есть $f'(x) < 0$.

Рассмотрим неравенство:

$-\frac{3}{x^2} - 8 < 0$

Проанализируем выражение для производной. Для любого значения $x$ из области определения ($x \neq 0$):

• $x^2$ всегда положительно ($x^2 > 0$).
• Следовательно, дробь $\frac{3}{x^2}$ также всегда положительна.
• Тогда $-\frac{3}{x^2}$ всегда отрицательно.
• Выражение $f'(x) = -\frac{3}{x^2} - 8$ представляет собой сумму двух отрицательных слагаемых, поэтому результат всегда будет отрицательным.

Таким образом, производная $f'(x)$ отрицательна на всей области определения функции.

Вывод

Поскольку производная функции отрицательна на всех интервалах области определения, функция является убывающей на всей своей области определения.

Промежутки убывания Ответ: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.