Номер 3.88, страница 253 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.88. Определите порядок действий и составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + 3x^2 - 5$ в точке пересечения этого графика с осью ординат.

Для составления уравнения касательной к графику функции необходимо придерживаться следующего порядка действий:

1. Найти координаты точки касания $(x_0, y_0)$. По условию, это точка пересечения графика функции с осью ординат, следовательно, абсцисса этой точки $x_0 = 0$. Ордината $y_0$ вычисляется подстановкой значения $x_0$ в уравнение функции.
2. Найти производную данной функции $f'(x)$.
3. Вычислить угловой коэффициент $k$ касательной, который равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.
4. Подставить найденные значения $x_0, y_0$ и $k$ в общую формулу уравнения касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$.

Выполним эти действия для функции $y = x^3 + 3x^2 - 5$.

1. Находим координаты точки касания.
Абсцисса точки пересечения с осью ординат равна нулю: $x_0 = 0$.
Найдем ординату $y_0$, подставив $x_0=0$ в уравнение функции:
$y_0 = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 5 = -5$.
Следовательно, точка касания имеет координаты $(0; -5)$.

2. Находим производную функции $y(x) = x^3 + 3x^2 - 5$:
$y'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5)' = 3x^{2} + 2 \cdot 3x - 0 = 3x^2 + 6x$.

3. Вычисляем угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0 = 0$:
$k = y'(0) = 3 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 = 0$.

4. Составляем уравнение касательной, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$ и подставляя найденные значения $x_0 = 0$, $y_0 = -5$ и $k = 0$:
$y = -5 + 0 \cdot (x - 0)$
$y = -5$.

Уравнение касательной: Ответ: $y = -5$.