Номер 3.89, страница 253 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.89. На рисунке 149 изображен график функции $y = f(x)$. Найдите значения аргумента, при которых:

а) $f'(x) > 0$;

б) $f'(x) < 0$.

Рис. 149

Для решения этой задачи необходимо использовать геометрический смысл производной. Знак производной функции $f'(x)$ в точке показывает характер поведения самой функции $f(x)$:

• Если производная положительна ($f'(x) > 0$), то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале (график движется вверх при взгляде слева направо).
• Если производная отрицательна ($f'(x) < 0$), то функция $f(x)$ убывает на этом интервале (график движется вниз).

Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$), являются точками экстремума (локальными максимумами или минимумами). На графике это "вершины" и "впадины".

Проанализировав график, мы видим, что:

• Точка локального максимума ("вершина") находится при $x = -3$.
• Точка локального минимума ("впадина") находится при $x = 3$.

Эти точки делят всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых функция ведет себя монотонно (только возрастает или только убывает).

а) $f'(x) > 0$;
Нам нужно найти интервалы, на которых функция $f(x)$ возрастает. По графику видно, что это происходит на двух участках:
1. До точки максимума, то есть при $x$ от минус бесконечности до $-3$.
2. После точки минимума, то есть при $x$ от $3$ до плюс бесконечности.
Таким образом, условие $f'(x) > 0$ выполняется для $x$ из объединения этих интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

б) $f'(x) < 0$.
Нам нужно найти интервал, на котором функция $f(x)$ убывает. По графику видно, что это происходит между точкой максимума $x = -3$ и точкой минимума $x = 3$.
На этом интервале график функции идет на спад.
Ответ: $x \in (-3; 3)$.