Номер 3.104, страница 254 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.104. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 2x$ в точке:

a) $x_0 = 2;$

б) $x_0 = -1;$

в) $x_0 = -3.$

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Геометрический смысл производной заключается в том, что $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $k$ - угловой коэффициент касательной, а $\alpha$ - угол ее наклона к положительному направлению оси Ox.

Заданная функция: $f(x) = x^2 + 2x$.

Сначала найдем производную данной функции, используя правила дифференцирования $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot u)' = c \cdot u'$:

$f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + (2x)' = 2x^{2-1} + 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2x + 2$.

Теперь, чтобы найти тангенс угла наклона касательной в каждой из указанных точек, нужно подставить значение $x_0$ в найденную производную $f'(x)$.

а) При $x_0 = 2$:

Вычисляем значение производной в этой точке:

$f'(2) = 2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной равен 6.

Ответ: 6.

б) При $x_0 = -1$:

Вычисляем значение производной в этой точке:

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной равен 0. Это означает, что касательная в этой точке параллельна оси Ox.

Ответ: 0.

в) При $x_0 = -3$:

Вычисляем значение производной в этой точке:

$f'(-3) = 2 \cdot (-3) + 2 = -6 + 2 = -4$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной равен -4.

Ответ: -4.