Номер 3.73, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.73. Решите неравенство $(x^2 - 9)(x + 3) \geq 0$, используя метод интервалов.

Для решения данного неравенства $(x^2 - 9)(x + 3) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Разложение на множители.

   Сначала разложим левую часть неравенства на простейшие множители. Выражение $x^2 - 9$ является разностью квадратов, которую можно представить в виде $(x - 3)(x + 3)$.

   Заменим $x^2 - 9$ в исходном неравенстве:

   $(x - 3)(x + 3)(x + 3) \ge 0$

   Сгруппировав одинаковые множители, получим:

   $(x - 3)(x + 3)^2 \ge 0$

2. Нахождение корней.

   Найдем значения $x$, при которых левая часть неравенства равна нулю. Это точки, которые разделят числовую ось на интервалы.

   $(x - 3)(x + 3)^2 = 0$

   Корнями уравнения являются:

   • $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
   • $(x + 3)^2 = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$

   Важно отметить, что корень $x = -3$ имеет кратность 2 (четную), так как множитель $(x+3)$ возведен в квадрат. При переходе через корень четной кратности знак функции не меняется.

3. Анализ знаков на числовой оси.

   Отметим найденные корни на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак $\ge$), точки $x=3$ и $x=-3$ будут включены в решение (закрашенные точки).

   Эти точки делят ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

   Определим знак выражения $(x - 3)(x + 3)^2$ на каждом интервале.

   • Для интервала $(3; +\infty)$ возьмем пробную точку, например, $x = 4$:
     $(4 - 3)(4 + 3)^2 = 1 \cdot 7^2 = 49$, что больше 0. Значит, на этом интервале знак "+".
   • При переходе через точку $x = 3$ (корень нечетной кратности 1) знак меняется. Значит, на интервале $(-3; 3)$ знак "-".
   • При переходе через точку $x = -3$ (корень четной кратности 2) знак не меняется. Значит, на интервале $(-\infty; -3)$ знак также "-".

   Схема знаков выглядит так:
   --- (-3) --- (3) +++

4. Формирование ответа.

   Мы ищем значения $x$, при которых выражение $(x - 3)(x + 3)^2$ больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком "+" и точкам, где выражение равно нулю.

   • Выражение положительно на интервале $(3; +\infty)$.
   • Выражение равно нулю в точках $x=3$ и $x=-3$.

   Объединяя эти условия, получаем, что решением является изолированная точка $x=-3$ и промежуток $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup [3; +\infty)$.