Номер 3.51, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.51. Две точки движутся по законам $s_1(t) = 4t^2 + 2$ и $s_2(t) = 3t^2 + 4t - 1$ (путь измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны.

Для решения задачи сначала найдем моменты времени $t$, в которые пройденные точками расстояния равны. Затем найдем функции скоростей для каждой точки как производные от функций пути. Наконец, вычислим значения скоростей в найденные моменты времени.

1. Нахождение моментов времени

Приравниваем уравнения движения $s_1(t)$ и $s_2(t)$:

$s_1(t) = s_2(t)$

$4t^2 + 2 = 3t^2 + 4t - 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4t^2 - 3t^2 - 4t + 2 + 1 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корнями уравнения являются:

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 3$ с

Следовательно, пройденные точками расстояния равны в моменты времени 1 с и 3 с.

2. Нахождение функций скорости

Скорость является первой производной от пути по времени, то есть $v(t) = s'(t)$.

Найдем функцию скорости для первой точки:

$v_1(t) = s'_1(t) = (4t^2 + 2)' = 8t$

Найдем функцию скорости для второй точки:

$v_2(t) = s'_2(t) = (3t^2 + 4t - 1)' = 6t + 4$

3. Вычисление скоростей

Теперь подставим найденные значения $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$ в функции скоростей.

При $t = 1$ с:

• Скорость первой точки: $v_1(1) = 8 \cdot 1 = 8$ м/с.
• Скорость второй точки: $v_2(1) = 6 \cdot 1 + 4 = 10$ м/с.

При $t = 3$ с:

• Скорость первой точки: $v_1(3) = 8 \cdot 3 = 24$ м/с.
• Скорость второй точки: $v_2(3) = 6 \cdot 3 + 4 = 18 + 4 = 22$ м/с.

Скорости точек в момент времени t = 1 с: Ответ: скорость первой точки $8$ м/с, скорость второй точки $10$ м/с.

Скорости точек в момент времени t = 3 с: Ответ: скорость первой точки $24$ м/с, скорость второй точки $22$ м/с.