Номер 255, страница 52 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

255. Из двух капельниц с одинаковыми диаметрами отверстий вытекают капли равные массы воды и спирта при одинаковой комнатной температуре. Поясните, одинаковым ли будет число образовавшихся капель этих жидкостей.

Дано:

$d_в = d_с = d$ — диаметры отверстий капельниц

$M_в = M_с = M$ — равные массы воды и спирта

$T_в = T_с$ — одинаковая комнатная температура

Найти:

Будет ли число капель воды $N_в$ равно числу капель спирта $N_с$?

Решение:

Капля жидкости отрывается от кончика капельницы, когда сила тяжести, действующая на нее, становится равной силе поверхностного натяжения, удерживающей каплю. В момент отрыва можно записать равенство:

$F_{тяж} = F_{пн}$

Сила тяжести, действующая на одну каплю массой $m$, равна $F_{тяж} = m \cdot g$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Сила поверхностного натяжения $F_{пн}$ действует по периметру отверстия и равна $F_{пн} = σ \cdot L$, где $σ$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а $L$ — длина окружности отверстия. Длина окружности равна $L = \pi d$, где $d$ — диаметр отверстия.

Тогда условие отрыва капли можно записать как:

$m \cdot g = σ \cdot \pi d$

Из этого уравнения можно выразить массу одной капли:

$m = \frac{σ \cdot \pi d}{g}$

Поскольку по условию задачи диаметры отверстий капельниц ($d$) одинаковы, а ускорение свободного падения ($g$) является константой, масса одной капли прямо пропорциональна коэффициенту поверхностного натяжения жидкости ($σ$):

$m \propto σ$

Коэффициент поверхностного натяжения — это свойство жидкости, и при одинаковой комнатной температуре для воды ($σ_в$) он значительно больше, чем для спирта ($σ_с$).

$σ_в > σ_с$

Следовательно, масса одной капли воды ($m_в$) будет больше массы одной капли спирта ($m_с$):

$m_в > m_с$

Общее число капель $N$ определяется как отношение общей массы жидкости $M$ к массе одной капли $m$:

$N = \frac{M}{m}$

По условию, общие массы воды и спирта равны ($M_в = M_с = M$). Тогда для числа капель воды ($N_в$) и спирта ($N_с$) получаем:

$N_в = \frac{M}{m_в}$

$N_с = \frac{M}{m_с}$

Так как $m_в > m_с$, знаменатель в выражении для $N_в$ больше, чем в выражении для $N_с$. Это означает, что число капель воды будет меньше числа капель спирта:

$N_в < N_с$

Ответ:

Нет, число образовавшихся капель воды и спирта не будет одинаковым. Из-за того, что поверхностное натяжение воды больше, чем у спирта, масса одной капли воды будет больше массы одной капли спирта. Поскольку общие массы жидкостей равны, из данной массы спирта образуется большее число капель, чем из такой же массы воды.