Лабораторная работа №4, страница 245 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

Лабораторная работа 4. Измерение ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока

Цель: измерить ЭДС и внутреннее сопротивление источника постоянного тока.

Оборудование: гальванический элемент (батарейка 1,5–4,5 В); вольтметр; амперметр; реостат; ключ; соединительные провода.

Вывод расчётных формул

Согласно закону Ома для полной цепи, ЭДС $\mathcal{E}$ источника тока, его внутреннее сопротивление $r$, сила тока $I$ в цепи и сопротивление $R$ внешнего участка цепи связаны соотношением $\mathcal{E} = IR + Ir$.

С учётом того, что напряжение на внешнем участке цепи $U = IR$, получим:

$\mathcal{E} = U + Ir$.

Если выполнить непосредственные измерения силы тока $I_1$ и $I_2$ и напряжения $U_1$ и $U_2$ при двух различных значениях сопротивления внешнего участка цепи, то получим систему, состоящую из двух уравнений:

$\begin{cases} \mathcal{E} = U_1 + I_1r, \\ \mathcal{E} = U_2 + I_2r. \end{cases}$

Отсюда внутреннее сопротивление источника постоянного тока $r = \frac{U_2 - U_1}{I_1 - I_2}$, а его ЭДС $\mathcal{E} = \frac{I_1U_2 - I_2U_1}{I_1 - I_2}$.

Вместо реостата можно использовать два резистора, сопротивления $R_1$ и $R_2$ которых известны. Тогда формулы для расчёта внутреннего сопротивления $r$ и ЭДС $\mathcal{E}$ источника постоянного тока примут вид:

$r = \frac{I_2R_2 - I_1R_1}{I_1 - I_2}$, $\mathcal{E} = \frac{I_1I_2(R_2 - R_1)}{I_1 - I_2}$.

Порядок выполнения работы

1. Соберите электрическую цепь по схеме, представленной на рисунке 231. При разомкнутом ключе проверьте надёжность контактных соединений и правильность подключения электроизмерительных приборов.

2. Проведите не менее шести измерений силы тока и напряжения на внешнем участке цепи при различных положениях подвижного контакта реостата. Вычислите внутреннее сопротивление $r$ и ЭДС $\mathcal{E}$ источника постоянного тока для каждой пары результатов измерений.

Рис. 231

3. Вычислите средние значения внутреннего сопротивления $\langle r \rangle$ и ЭДС $\langle \mathcal{E} \rangle$ источника тока.

Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу в тетради.

4. Постройте график зависимости напряжения $U$ на внешнем участке цепи от силы тока $I$ в цепи. Продлите график до пересечения с координатными осями. По графику определите ЭДС $\mathcal{E}$ источника тока. Используя данные графика, определите внутреннее сопротивление $r$ источника тока.

Из графика и уравнения $\mathcal{E} = U + Ir$ следует, что при $I = 0$ (цепь разомкнута) $\mathcal{E} = U$; при $U = 0$ сила тока в цепи максимальна, и внутреннее сопротивление источника тока можно определить по формуле $r = \frac{\mathcal{E}}{I_{\text{max}}}$.

5. При разомкнутом ключе подключите вольтметр к источнику тока и измерьте его ЭДС $\mathcal{E}$.

6. Сравните результаты вычисления среднего значения ЭДС $\langle \mathcal{E} \rangle$ источника тока (п. 3), определения ЭДС $\mathcal{E}$ по графику (п. 4) и прямых измерений ЭДС $\mathcal{E}$ (п. 5).

7. Вычислите абсолютную погрешность $\Delta \mathcal{E}$ и относительную погрешность $\varepsilon_{\mathcal{E}}$ прямых измерений ЭДС источника тока: $\Delta \mathcal{E} = \Delta_п \mathcal{E} + \Delta_0 \mathcal{E}$, $\varepsilon_{\mathcal{E}} = \frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}}$. Запишите результаты прямых измерений ЭДС источника тока в виде:

$\mathcal{E} = (\mathcal{E} \pm \Delta \mathcal{E})$ В; $\varepsilon_{\mathcal{E}} = \%$.

Контрольные вопросы

1. Почему отличаются показания вольтметра, подключённого к источнику тока, при разомкнутом и при замкнутом ключе?

2. От чего зависит мощность тока на внешнем участке цепи для данного источника тока?

3. Как изменяется коэффициент полезного действия источника тока при увеличении длины активной части реостата?

Суперзадание

Используя результаты, полученные при выполнении данной работы, определите максимальную мощность тока на внешнем участке полной цепи.

Почему отличаются показания вольтметра, подключённого к источнику тока, при разомкнутом и при замкнутом ключе?

Показания вольтметра отличаются из-за наличия внутреннего сопротивления у источника тока и падения напряжения на нём при протекании тока.

1. При разомкнутом ключе: Внешняя цепь разорвана, ток в ней не течёт ($I = 0$). Идеальный вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление, поэтому ток через него также не течёт. Закон Ома для полной цепи имеет вид: $\mathscr{E} = U + Ir$, где $\mathscr{E}$ — ЭДС источника, $U$ — напряжение на внешнем участке цепи, $I$ — сила тока, $r$ — внутреннее сопротивление. Поскольку $I = 0$, то падение напряжения на внутреннем сопротивлении равно нулю ($Ir = 0$). В этом случае напряжение на клеммах источника, измеряемое вольтметром, равно его ЭДС: $U = \mathscr{E}$.

2. При замкнутом ключе: В цепи течёт ток $I$, определяемый по закону Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$, где $R$ — сопротивление внешней цепи. Вольтметр, подключенный параллельно внешнему сопротивлению $R$, измеряет напряжение на нём, которое равно $U = IR$. Согласно закону Ома для полной цепи, это напряжение меньше ЭДС на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника: $U = \mathscr{E} - Ir$. Так как $I > 0$ и $r > 0$, то $Ir > 0$, следовательно, $U < \mathscr{E}$.

Таким образом, при разомкнутом ключе вольтметр показывает ЭДС источника, а при замкнутом — напряжение на внешней цепи, которое всегда меньше ЭДС из-за потерь напряжения внутри самого источника.

Ответ: Показания вольтметра при разомкнутом ключе соответствуют ЭДС источника, а при замкнутом — напряжению на внешней цепи, которое меньше ЭДС на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника ($Ir$).

2. От чего зависит мощность тока на внешнем участке цепи для данного источника тока?

Мощность тока $P$ на внешнем участке цепи (нагрузке) определяется по формуле $P = UI$ или $P = I^2R$, где $U$ — напряжение на нагрузке, $I$ — сила тока в цепи, $R$ — сопротивление нагрузки.

Для данного источника тока его ЭДС $\mathscr{E}$ и внутреннее сопротивление $r$ являются постоянными величинами. Сила тока в цепи зависит от сопротивления внешней нагрузки $R$ согласно закону Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$.

Подставив это выражение для тока в формулу мощности, получим зависимость мощности от внешнего сопротивления:

$P(R) = I^2R = \left(\frac{\mathscr{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathscr{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Из этой формулы видно, что при постоянных $\mathscr{E}$ и $r$ мощность на внешнем участке цепи зависит только от сопротивления этого участка $R$.

Ответ: Для данного источника тока (с постоянными ЭДС и внутренним сопротивлением) мощность тока на внешнем участке цепи зависит от сопротивления этого внешнего участка $R$.

3. Как изменяется коэффициент полезного действия источника тока при увеличении длины активной части реостата?

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока $\eta$ — это отношение полезной мощности $P_{полезн}$, выделяющейся на внешней нагрузке, к полной мощности $P_{полн}$, развиваемой источником.

Полезная мощность: $P_{полезн} = I^2 R$.

Полная мощность: $P_{полн} = I^2(R+r)$, где $R$ — сопротивление внешней цепи (реостата), а $r$ — внутреннее сопротивление источника.

Тогда КПД равен:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{полн}} = \frac{I^2 R}{I^2(R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Увеличение длины активной части реостата приводит к увеличению его сопротивления $R$. Проанализируем, как изменится $\eta$ при увеличении $R$. Выражение для КПД можно переписать в виде:

$\eta = \frac{R+r-r}{R+r} = 1 - \frac{r}{R+r}$

При увеличении $R$ знаменатель дроби $(R+r)$ увеличивается. Следовательно, сама дробь $\frac{r}{R+r}$ уменьшается (так как $r$ — константа). В результате разность $1 - \frac{r}{R+r}$ увеличивается.

Ответ: При увеличении длины активной части реостата его сопротивление $R$ возрастает, что приводит к увеличению коэффициента полезного действия $\eta$ источника тока.

Суперзадание

Дано:

По результатам лабораторной работы известны средние значения ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока:
$\langle\mathscr{E}\rangle$ — среднее значение ЭДС источника, В.
$\langle r \rangle$ — среднее значение внутреннего сопротивления, Ом.

Найти:

$P_{max}$ — максимальная мощность на внешнем участке цепи, Вт.

Решение:

Мощность, выделяемая на внешнем участке цепи (нагрузке с сопротивлением $R$), определяется выражением:

$P = I^2R$

Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи равна $I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$. Подставим это в формулу мощности:

$P(R) = \left(\frac{\mathscr{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathscr{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Чтобы найти максимальное значение мощности, нужно исследовать эту функцию $P(R)$ на экстремум. Для этого найдём производную функции $P$ по переменной $R$ и приравняем её к нулю.

$\frac{dP}{dR} = \frac{d}{dR} \left( \frac{\mathscr{E}^2 R}{(R+r)^2} \right) = \mathscr{E}^2 \frac{d}{dR} \left( \frac{R}{(R+r)^2} \right)$

Используя правило дифференцирования частного, получаем:

$\frac{dP}{dR} = \mathscr{E}^2 \frac{1 \cdot (R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = \mathscr{E}^2 \frac{(R+r) - 2R}{(R+r)^3} = \mathscr{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3}$

Приравниваем производную к нулю:

$\mathscr{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3} = 0$

Так как $\mathscr{E} \neq 0$ и $R+r \neq 0$, то равенство выполняется при условии $r-R=0$, то есть $R=r$.

Это означает, что мощность на внешней нагрузке максимальна, когда её сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника тока.

Найдём значение этой максимальной мощности, подставив $R=r$ в формулу для $P$:

$P_{max} = \frac{\mathscr{E}^2 r}{(r+r)^2} = \frac{\mathscr{E}^2 r}{(2r)^2} = \frac{\mathscr{E}^2 r}{4r^2} = \frac{\mathscr{E}^2}{4r}$

Для вычисления численного значения используются средние значения $\langle\mathscr{E}\rangle$ и $\langle r \rangle$, полученные в ходе выполнения лабораторной работы.

Расчётная формула:

$P_{max} = \frac{\langle\mathscr{E}\rangle^2}{4\langle r \rangle}$

Ответ: Максимальная мощность на внешнем участке цепи достигается при $R=r$ и вычисляется по формуле $P_{max} = \frac{\mathscr{E}^2}{4r}$. Для расчёта необходимо использовать средние значения ЭДС и внутреннего сопротивления, полученные в эксперименте: $P_{max} = \frac{\langle\mathscr{E}\rangle^2}{4\langle r \rangle}$.