Номер 1, страница 64 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

Докажите, что относительная влажность воздуха резко уменьшается при возрастании температуры.

Подсказка. Воспользуйтесь формулами $p = nkT$ и $\varphi = \frac{p_\Pi}{p_Н} \cdot 100 \, \%$.

Решение

Относительная влажность воздуха $\phi$ определяется как отношение парциального давления водяного пара $p_п$, содержащегося в воздухе, к давлению насыщенного водяного пара $p_н$ при той же температуре, выраженное в процентах:

$\phi = \frac{p_п}{p_н} \cdot 100\%$

Парциальное давление водяного пара $p_п$ можно выразить через формулу $p = nkT$, где $n_п$ — концентрация молекул водяного пара, $k$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура. Таким образом, $p_п = n_п kT$.

Подставим это выражение в формулу для относительной влажности:

$\phi = \frac{n_п k T}{p_н} \cdot 100\%$

Рассмотрим, как изменяются величины в этой формуле при возрастании температуры $T$. Будем считать, что количество водяного пара в единице объема воздуха остается неизменным, то есть концентрация $n_п$ является постоянной величиной.

1. Числитель дроби, который представляет собой парциальное давление $p_п = n_п kT$, прямо пропорционален абсолютной температуре $T$. Следовательно, при увеличении температуры он растет линейно.

2. Знаменатель дроби, $p_н$, — это давление насыщенного пара. Давление насыщенного пара является функцией только температуры и с её ростом увеличивается. Важно отметить, что эта зависимость нелинейная и очень сильная: давление насыщенного пара растет с температурой гораздо быстрее, чем линейно (близко к экспоненциальному закону). Это происходит потому, что с ростом температуры всё большее число молекул жидкости приобретает кинетическую энергию, достаточную для преодоления сил притяжения и перехода в пар.

Таким образом, при возрастании температуры $T$ и числитель ($p_п$), и знаменатель ($p_н$) в формуле для относительной влажности увеличиваются. Однако знаменатель ($p_н$) растет гораздо интенсивнее, чем числитель ($p_п$). Из-за такого опережающего, резкого роста знаменателя по сравнению с числителем значение всей дроби $\frac{p_п}{p_н}$ будет резко уменьшаться.

Следовательно, мы доказали, что относительная влажность воздуха резко уменьшается при возрастании температуры (при условии, что абсолютное содержание влаги в воздухе не меняется).

Ответ:

При увеличении температуры $T$ парциальное давление водяного пара $p_п = n_п kT$ (при постоянной концентрации $n_п$) растет линейно. В то же время давление насыщенного пара $p_н$ растет с температурой значительно быстрее (почти экспоненциально). Поскольку относительная влажность $\phi$ пропорциональна отношению $\frac{p_п}{p_н}$, из-за более быстрого роста знаменателя значение дроби, а следовательно и относительная влажность, резко уменьшается. Что и требовалось доказать.