Номер 17, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.17. Функция $y = f(x)$ нечетная и для $x > 0$ задается формулой $f(x) = \log_{2}x$. Найдите корни уравнения $f(x) = 3$.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является нечетной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения нечетной функции симметрична относительно нуля.

Также дано, что для $x > 0$ функция задается формулой $f(x) = \log_2 x$. Из этого следует, что область определения функции не включает $x=0$.

Нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 3$. Рассмотрим два возможных случая для переменной $x$.

Случай 1: $x > 0$

Для положительных значений $x$ используем данную в условии формулу: $$f(x) = \log_2 x$$ Подставляем это в уравнение, которое нужно решить: $$\log_2 x = 3$$ По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему: $$x = 2^3$$ $$x = 8$$ Поскольку $8 > 0$, это значение удовлетворяет условию $x > 0$ и является первым корнем уравнения.

Случай 2: $x < 0$

Для отрицательных значений $x$ мы не можем напрямую использовать формулу $f(x) = \log_2 x$, так как она определена только для $x > 0$. В этом случае мы должны использовать свойство нечетности функции: $f(x) = -f(-x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $$-f(-x) = 3$$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$f(-x) = -3$$ Важно заметить, что если $x < 0$, то $-x > 0$. Это значит, что для аргумента $(-x)$ мы можем применить заданную формулу $f(t) = \log_2 t$, где $t = -x$. Получаем уравнение: $$\log_2(-x) = -3$$ И снова, по определению логарифма: $$-x = 2^{-3}$$ $$-x = \frac{1}{2^3}$$ $$-x = \frac{1}{8}$$ Отсюда находим значение $x$: $$x = -\frac{1}{8}$$ Поскольку $-\frac{1}{8} < 0$, это значение удовлетворяет условию $x < 0$ и является вторым корнем уравнения.

Таким образом, уравнение имеет два корня: один положительный и один отрицательный.

Ответ: $8; -\frac{1}{8}$.