Номер 12, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.12. Расположите в порядке убывания числа:

a) $\log_5 0,6$; $\log_5 2,7$; $\log_5 0,2$; $\log_5 \frac{1}{3}$; $\log_5 3,5$;

б) $\log_{0,7} 7$; $\log_{0,7} 2,9$; $\log_{0,7} 0,5$; $\log_{0,7} 3,8$; $\log_{0,7} \frac{3}{7}$.

a) Чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_5 x$.
Основание логарифма $a=5$. Так как основание больше единицы ($a > 1$), функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение логарифма $\log_5 x$.
Следовательно, для расположения логарифмов в порядке убывания, необходимо расположить их аргументы также в порядке убывания.
Аргументы данных логарифмов: $0,6$; $2,7$; $0,2$; $\frac{1}{3}$; $3,5$.
Для удобства сравнения, представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде десятичной: $\frac{1}{3} \approx 0,333...$
Расположим аргументы в порядке убывания: $3,5 > 2,7 > 0,6 > \frac{1}{3} > 0,2$.
Поскольку функция возрастающая, порядок логарифмов будет таким же.
Ответ: $\log_5 3,5; \log_5 2,7; \log_5 0,6; \log_5 \frac{1}{3}; \log_5 0,2$.

б) Рассмотрим свойства логарифмической функции $y = \log_{0,7} x$.
Основание логарифма $a=0,7$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение логарифма $\log_{0,7} x$.
Следовательно, для расположения логарифмов в порядке убывания, необходимо расположить их аргументы в порядке возрастания (от меньшего к большему).
Аргументы данных логарифмов: $7$; $2,9$; $0,5$; $3,8$; $\frac{3}{7}$.
Для удобства сравнения, представим дробь $\frac{3}{7}$ в виде десятичной: $\frac{3}{7} \approx 0,428...$
Расположим аргументы в порядке возрастания: $\frac{3}{7} < 0,5 < 2,9 < 3,8 < 7$.
Поскольку функция убывающая, порядок логарифмов будет обратным порядку аргументов.
Ответ: $\log_{0,7} \frac{3}{7}; \log_{0,7} 0,5; \log_{0,7} 2,9; \log_{0,7} 3,8; \log_{0,7} 7$.