Номер 10, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.10. Найдите наибольшее значение функции $y = \log_3 (23 - x^2 + 4x).$

Для нахождения наибольшего значения функции $y = \log_3(23 - x^2 + 4x)$ необходимо определить наибольшее значение выражения, стоящего под знаком логарифма. Это связано с тем, что логарифмическая функция с основанием больше 1 (в данном случае основание равно 3) является возрастающей. Следовательно, наибольшему значению аргумента будет соответствовать наибольшее значение самой функции.

Рассмотрим функцию, находящуюся в аргументе логарифма: $g(x) = 23 - x^2 + 4x$. Для удобства запишем ее в стандартном виде: $g(x) = -x^2 + 4x + 23$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при старшем члене ($x^2$) отрицательный ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума, которая является вершиной параболы.

Координату $x_0$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле:$x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 4$, $c = 23$. Подставим эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.

Теперь, чтобы найти максимальное значение функции $g(x)$, подставим найденное значение $x_0=2$ в выражение для $g(x)$:

$g_{max} = g(2) = -(2)^2 + 4(2) + 23 = -4 + 8 + 23 = 4 + 23 = 27$.

Таким образом, наибольшее значение аргумента логарифма равно 27. При этом значении аргумента ($27 > 0$) исходная функция определена.

Теперь мы можем найти наибольшее значение исходной функции $y$, подставив в нее найденное максимальное значение аргумента:

$y_{max} = \log_3(27)$.

Поскольку $27 = 3^3$, получаем:

$y_{max} = \log_3(3^3) = 3$.

Ответ: 3