Номер 4, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.4. Положительным или отрицательным числом является значение

выражения:

а) $\log_2 3$;

б) $\log_5 \frac{2}{7}$;

в) $\log_{0,2} 7$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} 0,78$?

Для определения знака логарифма $\log_a b$ используется простое правило, основанное на сравнении основания $a$ и аргумента $b$ с единицей.

• Если основание и аргумент находятся по одну сторону от 1 (то есть, оба больше 1, или оба находятся в интервале от 0 до 1), то значение логарифма положительно.
• Если основание и аргумент находятся по разные стороны от 1 (то есть, одно больше 1, а другое — в интервале от 0 до 1), то значение логарифма отрицательно.

а) $\log_2 3$
Основание логарифма $a=2$, что больше 1 ($a > 1$).
Аргумент логарифма $b=3$, что также больше 1 ($b > 1$).
Поскольку и основание, и аргумент больше 1 (находятся по одну сторону от единицы), значение выражения является положительным.
Ответ: Положительное.

б) $\log_5 \frac{2}{7}$
Основание логарифма $a=5$, что больше 1 ($a > 1$).
Аргумент логарифма $b=\frac{2}{7}$. Это правильная дробь, значение которой меньше 1 ($0 < b < 1$).
Поскольку основание больше 1, а аргумент меньше 1 (находятся по разные стороны от единицы), значение выражения является отрицательным.
Ответ: Отрицательное.

в) $\log_{0.2} 7$
Основание логарифма $a=0.2$. Его значение находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$).
Аргумент логарифма $b=7$, что больше 1 ($b > 1$).
Поскольку основание меньше 1, а аргумент больше 1 (находятся по разные стороны от единицы), значение выражения является отрицательным.
Ответ: Отрицательное.

г) $\log_{\frac{1}{3}} 0.78$
Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$. Его значение находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$).
Аргумент логарифма $b=0.78$. Его значение также находится в интервале от 0 до 1 ($0 < b < 1$).
Поскольку и основание, и аргумент меньше 1 (находятся по одну сторону от единицы), значение выражения является положительным.
Ответ: Положительное.