gdz.by
Номер 41, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко
Авторы: Арефьева И. Г., Пирютко О. Н.
Тип: Сборник задач
Издательство: Народная асвета
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый и повышенный
Цвет обложки: белый с графиком
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава 3. Логарифмическая функция. Параграф 7. Свойства логарифмов - номер 41, страница 55.
№40
№41 (с. 55)
Условие. №41 (с. 55)
скриншот условия
7.41. Вычислите: $ \log_{2\sqrt{2}}\sin 70^\circ + \log_{2\sqrt{2}}\sin 50^\circ + \log_{2\sqrt{2}}\sin 10^\circ $
Решение. №41 (с. 55)
Решение 2. №41 (с. 55)
Для вычисления данного выражения сначала воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y + \log_a z = \log_a (x \cdot y \cdot z)$. Применив это свойство, получаем:
$$ \log_{2\sqrt{2}} \sin 70^\circ + \log_{2\sqrt{2}} \sin 50^\circ + \log_{2\sqrt{2}} \sin 10^\circ = \log_{2\sqrt{2}} (\sin 10^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ) $$Далее, упростим произведение синусов в аргументе логарифма. Для этого можно использовать тригонометрическое тождество $\sin x \cdot \sin(60^\circ - x) \cdot \sin(60^\circ + x) = \frac{1}{4} \sin(3x)$. Если подставить $x = 10^\circ$, то левая часть тождества в точности совпадет с нашим произведением:
$$ \sin 10^\circ \cdot \sin(60^\circ - 10^\circ) \cdot \sin(60^\circ + 10^\circ) = \sin 10^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ $$Таким образом, значение произведения равно:
$$ \frac{1}{4} \sin(3 \cdot 10^\circ) = \frac{1}{4} \sin(30^\circ) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$Теперь необходимо вычислить логарифм $\log_{2\sqrt{2}} (\frac{1}{8})$. Преобразуем основание и аргумент логарифма, представив их в виде степеней числа 2:
- Основание: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2}$
- Аргумент: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
Подставляем полученные значения в логарифм:
$$ \log_{2^{3/2}} (2^{-3}) $$Используя свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$, находим окончательный результат:
$$ \frac{-3}{3/2} \log_2 2 = -3 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = -2 $$Ответ: -2
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @gdz_by_belarus
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 41 расположенного на странице 55 к сборнику задач 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41 (с. 55), авторов: Арефьева (Ирина Глебовна), Пирютко (Ольга Николаевна), базовый и повышенный уровень обучения учебного пособия издательства Народная асвета.