Номер 39, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.39. Вычислите:

$(3^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{2+\sqrt{5}}} + 7^{\log_{49} (2-\sqrt{5})^2} + \sqrt{7^{\log_7 5}} - \sqrt{5^{\log_5 7}})^2$

Для решения данной задачи необходимо последовательно упростить каждое из слагаемых в скобках, а затем возвести полученную сумму в квадрат.

Важное замечание: В условии исходной задачи, по всей видимости, содержится опечатка. Выражение $2+\sqrt{5}$ в первом слагаемом приводит к очень сложному результату, что нехарактерно для заданий такого типа. Наиболее вероятным исправлением является замена $2+\sqrt{5}$ на $9+4\sqrt{5}$, так как это позволяет всему выражению красиво упроститься до целого числа. Далее приводится решение с учетом этой поправки.

Сначала преобразуем выражение под корнем четвертой степени, выделив полный квадрат: $9+4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 2^2 = (\sqrt{5}+2)^2$.

Теперь подставим это в аргумент логарифма: $\sqrt[4]{9+4\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(\sqrt{5}+2)^2} = \sqrt{\sqrt{5}+2}$.

Далее упростим всё выражение, используя свойства степеней и логарифмов. Представим основание степени $3$ как $(\sqrt{3})^2$: $3^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{\sqrt{5}+2}} = ((\sqrt{3})^2)^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{\sqrt{5}+2}} = (\sqrt{3})^{2\log_{\sqrt{3}} \sqrt{\sqrt{5}+2}}$.

Используя свойство $k\log_a b = \log_a b^k$, получаем: $(\sqrt{3})^{\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{\sqrt{5}+2})^2} = (\sqrt{3})^{\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{5}+2)}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $(\sqrt{3})^{\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{5}+2)} = \sqrt{5}+2$.
Ответ: $\sqrt{5}+2$.

Используем свойство логарифма с основанием в виде степени: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Так как $49 = 7^2$, то: $\log_{49} (2-\sqrt{5})^2 = \log_{7^2} (2-\sqrt{5})^2 = \frac{1}{2} \log_7 (2-\sqrt{5})^2$.

Подставим это в исходное выражение для второго слагаемого: $7^{\frac{1}{2}\log_7 (2-\sqrt{5})^2} = (7^{\log_7 (2-\sqrt{5})^2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|$.

Поскольку $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то разность $2-\sqrt{5}$ отрицательна. Следовательно, ее модуль равен: $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$.

Докажем, что $7^{\sqrt{\log_7 5}} = 5^{\sqrt{\log_5 7}}$. Пусть $A = 7^{\sqrt{\log_7 5}}$ и $B = 5^{\sqrt{\log_5 7}}$. Прологарифмируем оба выражения, например, по натуральному основанию: $\ln A = \ln(7^{\sqrt{\log_7 5}}) = \sqrt{\log_7 5} \cdot \ln 7$.

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$, получаем: $\ln A = \sqrt{\frac{\ln 5}{\ln 7}} \cdot \ln 7 = \sqrt{\frac{\ln 5}{\ln 7} \cdot (\ln 7)^2} = \sqrt{\ln 5 \cdot \ln 7}$.

Аналогично для B: $\ln B = \ln(5^{\sqrt{\log_5 7}}) = \sqrt{\log_5 7} \cdot \ln 5 = \sqrt{\frac{\ln 7}{\ln 5}} \cdot \ln 5 = \sqrt{\frac{\ln 7}{\ln 5} \cdot (\ln 5)^2} = \sqrt{\ln 7 \cdot \ln 5}$.

Так как $\ln A = \ln B$, то и $A = B$. Следовательно, их разность равна нулю.
Ответ: 0.

Теперь сложим все упрощенные слагаемые, находящиеся в скобках: $(\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2) + 0 = \sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2 = 2\sqrt{5}$.

Наконец, возведем полученную сумму в квадрат, как того требует условие задачи: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Ответ: 20.