Номер 33, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.33. Постройте график функции:

а) $y = 3^{\log_{\sqrt{3}}(x+2)};$

б) $y = 4^{\log_{2}(x-1)}.$

Для построения графиков данных функций сначала упростим их выражения и найдем область определения.

a) Рассмотрим функцию $y = 3^{\log_{\sqrt{3}}(x+2)}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x + 2 > 0$

$x > -2$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-2, +\infty)$.

2. Упростим выражение функции.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Для этого необходимо, чтобы основание степени и основание логарифма были одинаковыми. Приведем основание степени $3$ к основанию логарифма $\sqrt{3}$.

Поскольку $3 = (\sqrt{3})^2$, то можем записать:

$y = ((\sqrt{3})^2)^{\log_{\sqrt{3}}(x+2)}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$y = (\sqrt{3})^{2 \cdot \log_{\sqrt{3}}(x+2)}$

Далее, используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a(b^k)$, перенесем множитель 2 в показатель степени аргумента логарифма:

$y = (\sqrt{3})^{\log_{\sqrt{3}}((x+2)^2)}$

Теперь, когда основания одинаковы, применяем основное логарифмическое тождество:

$y = (x+2)^2$

3. Построение графика.
График исходной функции $y = 3^{\log_{\sqrt{3}}(x+2)}$ совпадает с графиком функции $y = (x+2)^2$ на области определения $x > -2$.
График функции $y = (x+2)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 2 единицы влево. Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$, ветви направлены вверх.
Так как нас интересует только часть графика, где $x > -2$, мы строим правую ветвь этой параболы. Точка $(-2, 0)$ не входит в график, так как неравенство строгое, и на графике она изображается "выколотой" (пустым кружком).

Ответ: Графиком функции является часть параболы $y = (x+2)^2$ при $x > -2$.

б) Рассмотрим функцию $y = 4^{\log_2(x-1)}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (1, +\infty)$.

2. Упростим выражение функции.
Приведем основание степени $4$ к основанию логарифма $2$.

Так как $4 = 2^2$, имеем:

$y = (2^2)^{\log_2(x-1)}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = 2^{2 \cdot \log_2(x-1)}$

Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a(b^k)$:

$y = 2^{\log_2((x-1)^2)}$

Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$y = (x-1)^2$

3. Построение графика.
График исходной функции $y = 4^{\log_2(x-1)}$ совпадает с графиком функции $y = (x-1)^2$ на области определения $x > 1$.
График функции $y = (x-1)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх.
Учитывая ОДЗ ($x > 1$), мы строим правую ветвь этой параболы. Вершина $(1, 0)$ является "выколотой" точкой, так как не входит в область определения.

Ответ: Графиком функции является часть параболы $y = (x-1)^2$ при $x > 1$.