Номер 31, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.31. Сравните $3^{\sqrt{\log_3 2}}$ и $2^{\sqrt{\log_2 3}}$.

Чтобы сравнить числа $3^{\sqrt{\log_3 2}}$ и $2^{\sqrt{\log_2 3}}$, мы прологарифмируем оба выражения по одному и тому же основанию. Поскольку оба числа положительны, знак неравенства между ними будет таким же, как и знак неравенства между их логарифмами (при основании логарифма, большем 1). Для удобства воспользуемся натуральным логарифмом (с основанием $e$, обозначается как $\ln$).

Обозначим первое число как $A = 3^{\sqrt{\log_3 2}}$, а второе как $B = 2^{\sqrt{\log_2 3}}$.

Шаг 1: Логарифмирование первого числа.

Найдем натуральный логарифм от $A$:

$\ln(A) = \ln(3^{\sqrt{\log_3 2}})$

Используя свойство логарифма степени $\ln(x^p) = p \cdot \ln(x)$, получаем:

$\ln(A) = \sqrt{\log_3 2} \cdot \ln 3$

Далее, применим формулу перехода к новому основанию для логарифма $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$:

$\ln(A) = \sqrt{\frac{\ln 2}{\ln 3}} \cdot \ln 3$

Упростим выражение, представив $\ln 3$ как $(\sqrt{\ln 3})^2$:

$\ln(A) = \frac{\sqrt{\ln 2}}{\sqrt{\ln 3}} \cdot (\sqrt{\ln 3})^2 = \sqrt{\ln 2} \cdot \sqrt{\ln 3} = \sqrt{(\ln 2)(\ln 3)}$

Шаг 2: Логарифмирование второго числа.

Найдем натуральный логарифм от $B$:

$\ln(B) = \ln(2^{\sqrt{\log_2 3}})$

Используя свойство логарифма степени, получаем:

$\ln(B) = \sqrt{\log_2 3} \cdot \ln 2$

Применим формулу перехода к новому основанию:

$\ln(B) = \sqrt{\frac{\ln 3}{\ln 2}} \cdot \ln 2$

Упростим выражение, представив $\ln 2$ как $(\sqrt{\ln 2})^2$:

$\ln(B) = \frac{\sqrt{\ln 3}}{\sqrt{\ln 2}} \cdot (\sqrt{\ln 2})^2 = \sqrt{\ln 3} \cdot \sqrt{\ln 2} = \sqrt{(\ln 2)(\ln 3)}$

Шаг 3: Сравнение результатов.

Мы получили, что $\ln(A) = \sqrt{(\ln 2)(\ln 3)}$ и $\ln(B) = \sqrt{(\ln 2)(\ln 3)}$.

Следовательно, $\ln(A) = \ln(B)$.

Так как функция натурального логарифма $y = \ln x$ является строго возрастающей, равенство логарифмов означает и равенство самих чисел.

Ответ: Данные числа равны: $3^{\sqrt{\log_3 2}} = 2^{\sqrt{\log_2 3}}$.