Номер 27, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.27. Вычислите:

$2^{2\log_{0,5} \operatorname{ctg} \frac{13\pi}{6} - 3\log_{0,25} \sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)}$

Для вычисления значения данного выражения выполним следующие действия по шагам.

1. Найдем значения тригонометрических функций, стоящих под знаком логарифма.

• Вычислим $\ctg\frac{13\pi}{6}$. Так как функция котангенса имеет период $\pi$, мы можем упростить аргумент: $$ \ctg\frac{13\pi}{6} = \ctg(\frac{12\pi + \pi}{6}) = \ctg(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} $$
• Вычислим $\sin(-\frac{7\pi}{6})$. Используя свойство нечетности функции синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$) и формулы приведения: $$ \sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

3. Упростим показатель степени. Для этого преобразуем логарифмы, приведя их к основанию 2. Учтем, что $0.5 = 2^{-1}$ и $0.25 = 2^{-2}$.

Показатель степени равен:

Используя свойство логарифма $\log_{a^n}{b^m} = \frac{m}{n}\log_a b$, получим:

4. Вычислим значение всего выражения, подставив упрощенный показатель степени:

Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{k\log_a b} = b^k$:

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{12}$.