Номер 23, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.23. Найдите значение выражения $\sqrt{\log_2^2 7 - 6\log_2 7 + 9 + \frac{1}{\log_7 2}}$.

Для нахождения значения данного выражения выполним ряд преобразований.

Исходное выражение:

$$ \sqrt{\log_2^2 7 - 6\log_2 7 + 9} + \frac{1}{\log_7 2} $$

1. Преобразуем выражение, находящееся под знаком квадратного корня: $ \log_2^2 7 - 6\log_2 7 + 9 $.
Заметим, что это выражение является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности: $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.
Если взять $ a = \log_2 7 $ и $ b = 3 $, то получим:

$$ (\log_2 7 - 3)^2 = (\log_2 7)^2 - 2 \cdot (\log_2 7) \cdot 3 + 3^2 = \log_2^2 7 - 6\log_2 7 + 9 $$

Следовательно, первое слагаемое исходного выражения можно переписать так:

$$ \sqrt{\log_2^2 7 - 6\log_2 7 + 9} = \sqrt{(\log_2 7 - 3)^2} $$

2. Используя свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $, получаем:

$$ \sqrt{(\log_2 7 - 3)^2} = |\log_2 7 - 3| $$

3. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $ \log_2 7 - 3 $. Для этого сравним значения $ \log_2 7 $ и $ 3 $.
Представим число $ 3 $ в виде логарифма с основанием 2:

$$ 3 = \log_2 2^3 = \log_2 8 $$

Теперь сравним $ \log_2 7 $ и $ \log_2 8 $. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 x $ является возрастающей. Это означает, что для $ x_1 < x_2 $ выполняется $ \log_2 x_1 < \log_2 x_2 $.
Поскольку $ 7 < 8 $, то $ \log_2 7 < \log_2 8 $.
Отсюда следует, что $ \log_2 7 < 3 $, а значит, разность $ \log_2 7 - 3 $ отрицательна.
По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то модуль равен этому выражению, взятому с противоположным знаком:

$$ |\log_2 7 - 3| = -(\log_2 7 - 3) = 3 - \log_2 7 $$

4. Теперь рассмотрим второе слагаемое исходного выражения: $ \frac{1}{\log_7 2} $.
Воспользуемся свойством логарифма $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $:

$$ \frac{1}{\log_7 2} = \log_2 7 $$

5. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$$ (3 - \log_2 7) + \log_2 7 $$

6. Выполним сложение:

$$ 3 - \log_2 7 + \log_2 7 = 3 $$

Ответ: 3