Номер 24, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.24. Вычислите:

$\frac{3 \cdot \left(25^2 - \log_5 75 + 7^{-\log_7 3}\right)}{\log_{0,2} \log_2 32 + \log_{27} 9}$

Для вычисления значения данного выражения необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель дроби, а затем выполнить деление.

Шаг 1: Упрощение числителя.
Числитель выражения: $3 \cdot (25^{2-\log_5{75}} + 7^{-\log_7{3}})$.
Упростим каждое слагаемое в скобках по отдельности, используя свойства степеней и логарифмов.
Первое слагаемое: $25^{2-\log_5{75}}$. По свойству разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ имеем:
$25^{2-\log_5{75}} = \frac{25^2}{25^{\log_5{75}}}$
Преобразуем знаменатель: $25 = 5^2$, поэтому $25^{\log_5{75}} = (5^2)^{\log_5{75}} = 5^{2\log_5{75}}$. Используя свойство $n\log_b a = \log_b a^n$, получаем $5^{\log_5{75^2}}$. По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$, это равно $75^2$.
Таким образом, первое слагаемое равно: $\frac{25^2}{75^2} = (\frac{25}{75})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Второе слагаемое: $7^{-\log_7{3}}$. По свойству отрицательного показателя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и основному логарифмическому тождеству:
$7^{-\log_7{3}} = \frac{1}{7^{\log_7{3}}} = \frac{1}{3}$.
Теперь вычислим значение выражения в скобках: $\frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} = \frac{4}{9}$.
И, наконец, значение всего числителя: $3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

Шаг 2: Упрощение знаменателя.
Знаменатель выражения: $\log_{0.2}{\log_2{32}} + \log_{27}{9}$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\log_{0.2}{\log_2{32}}$. Сначала вычислим внутренний логарифм: $\log_2{32} = 5$, так как $2^5 = 32$.
Теперь вычисляем $\log_{0.2}{5}$. Так как $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $\log_{0.2}{5} = \log_{5^{-1}}{5} = -1$.
Второе слагаемое: $\log_{27}{9}$. Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 3: $27=3^3$ и $9=3^2$.
Используя свойство $\log_{a^k}{b^m} = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_{27}{9} = \log_{3^3}{3^2} = \frac{2}{3}\log_3{3} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.
Значение всего знаменателя: $-1 + \frac{2}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.

Шаг 3: Итоговое вычисление.
Разделим значение числителя на значение знаменателя:
$\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{1}) = -4$.

Ответ: -4.