Номер 28, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.28. Упростите выражение:

a) $\frac{\log_2 18}{\log_{36} 2} - \frac{\log_2 9}{\log_{72} 2}$;

б) $\frac{\log_3 24}{\log_{72} 3} - \frac{\log_3 216}{\log_8 3}$;

в) $\frac{\log_3 135}{\log_{15} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{405} 3}$;

г) $\frac{\log_3 5}{\log_{405} 3} - \frac{\log_3 135}{\log_{15} 3}$;

д) $\frac{\log_3 4}{\log_{108} 3} - \frac{\log_3 12}{\log_{36} 3}$;

е) $\frac{\log_2 24}{\log_{96} 2} - \frac{\log_2 192}{\log_{12} 2}$.

а) $$ \frac{\log_2 18}{\log_{36} 2} - \frac{\log_2 9}{\log_{72} 2} $$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой замены основания логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Это позволит нам привести все логарифмы к одному основанию 2:

$$ \frac{\log_2 18}{\log_{36} 2} - \frac{\log_2 9}{\log_{72} 2} = \log_2 18 \cdot \log_2 36 - \log_2 9 \cdot \log_2 72 $$

Теперь представим аргументы логарифмов в виде произведений степеней простых чисел и воспользуемся свойствами логарифма: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_a(b^n) = n\log_a b$.

$\log_2 18 = \log_2(2 \cdot 3^2) = \log_2 2 + \log_2 3^2 = 1 + 2\log_2 3$

$\log_2 36 = \log_2(2^2 \cdot 3^2) = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 = 2 + 2\log_2 3$

$\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2\log_2 3$

$\log_2 72 = \log_2(2^3 \cdot 3^2) = \log_2 2^3 + \log_2 3^2 = 3 + 2\log_2 3$

Подставим эти выражения обратно и для удобства сделаем замену $x = 2\log_2 3$:

$$ (1 + 2\log_2 3)(2 + 2\log_2 3) - (2\log_2 3)(3 + 2\log_2 3) = (1 + x)(2 + x) - x(3 + x) $$

$$ = (2 + x + 2x + x^2) - (3x + x^2) = (2 + 3x + x^2) - 3x - x^2 = 2 $$

Ответ: 2

б) $$ \frac{\log_3 24}{\log_{72} 3} - \frac{\log_3 216}{\log_{8} 3} $$

Приведем все логарифмы к основанию 3, используя формулу $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:

$$ \log_3 24 \cdot \log_3 72 - \log_3 216 \cdot \log_3 8 $$

Разложим аргументы логарифмов на множители:

$\log_3 24 = \log_3(3 \cdot 2^3) = \log_3 3 + \log_3 2^3 = 1 + 3\log_3 2$

$\log_3 72 = \log_3(3^2 \cdot 2^3) = \log_3 3^2 + \log_3 2^3 = 2 + 3\log_3 2$

$\log_3 216 = \log_3(3^3 \cdot 2^3) = \log_3 3^3 + \log_3 2^3 = 3 + 3\log_3 2$

$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3\log_3 2$

Подставим и сделаем замену $x = 3\log_3 2$:

$$ (1 + 3\log_3 2)(2 + 3\log_3 2) - (3 + 3\log_3 2)(3\log_3 2) = (1 + x)(2 + x) - (3 + x)x $$

$$ = (2 + x + 2x + x^2) - (3x + x^2) = (2 + 3x + x^2) - 3x - x^2 = 2 $$

Ответ: 2

в) $$ \frac{\log_3 135}{\log_{15} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{405} 3} $$

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$$ \log_3 135 \cdot \log_3 15 - \log_3 5 \cdot \log_3 405 $$

Разложим аргументы логарифмов на множители:

$\log_3 135 = \log_3(3^3 \cdot 5) = \log_3 3^3 + \log_3 5 = 3 + \log_3 5$

$\log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5$

$\log_3 405 = \log_3(3^4 \cdot 5) = \log_3 3^4 + \log_3 5 = 4 + \log_3 5$

Подставим и сделаем замену $x = \log_3 5$:

$$ (3 + \log_3 5)(1 + \log_3 5) - (\log_3 5)(4 + \log_3 5) = (3 + x)(1 + x) - x(4 + x) $$

$$ = (3 + 3x + x + x^2) - (4x + x^2) = (3 + 4x + x^2) - 4x - x^2 = 3 $$

Ответ: 3

г) $$ \frac{\log_3 5}{\log_{405} 3} - \frac{\log_3 135}{\log_{15} 3} $$

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$$ \log_3 5 \cdot \log_3 405 - \log_3 135 \cdot \log_3 15 $$

Это выражение является противоположным выражению из пункта в). Используем те же разложения:

$\log_3 135 = 3 + \log_3 5$

$\log_3 15 = 1 + \log_3 5$

$\log_3 405 = 4 + \log_3 5$

Подставим и сделаем замену $x = \log_3 5$:

$$ (\log_3 5)(4 + \log_3 5) - (3 + \log_3 5)(1 + \log_3 5) = x(4 + x) - (3 + x)(1 + x) $$

$$ = (4x + x^2) - (3 + 3x + x + x^2) = (4x + x^2) - (3 + 4x + x^2) = -3 $$

Ответ: -3

д) $$ \frac{\log_3 4}{\log_{108} 3} - \frac{\log_3 12}{\log_{36} 3} $$

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$$ \log_3 4 \cdot \log_3 108 - \log_3 12 \cdot \log_3 36 $$

Разложим аргументы логарифмов на множители:

$\log_3 4 = \log_3 2^2 = 2\log_3 2$

$\log_3 108 = \log_3(3^3 \cdot 2^2) = \log_3 3^3 + \log_3 2^2 = 3 + 2\log_3 2$

$\log_3 12 = \log_3(3 \cdot 2^2) = \log_3 3 + \log_3 2^2 = 1 + 2\log_3 2$

$\log_3 36 = \log_3(3^2 \cdot 2^2) = \log_3 3^2 + \log_3 2^2 = 2 + 2\log_3 2$

Подставим и сделаем замену $x = 2\log_3 2$:

$$ (2\log_3 2)(3 + 2\log_3 2) - (1 + 2\log_3 2)(2 + 2\log_3 2) = x(3 + x) - (1 + x)(2 + x) $$

$$ = (3x + x^2) - (2 + 2x + x + x^2) = (3x + x^2) - (2 + 3x + x^2) = -2 $$

Ответ: -2

е) $$ \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2} - \frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} $$

Приведем все логарифмы к основанию 2:

$$ \log_2 24 \cdot \log_2 96 - \log_2 192 \cdot \log_2 12 $$

Разложим аргументы логарифмов на множители:

$\log_2 24 = \log_2(2^3 \cdot 3) = \log_2 2^3 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$

$\log_2 96 = \log_2(2^5 \cdot 3) = \log_2 2^5 + \log_2 3 = 5 + \log_2 3$

$\log_2 192 = \log_2(2^6 \cdot 3) = \log_2 2^6 + \log_2 3 = 6 + \log_2 3$

$\log_2 12 = \log_2(2^2 \cdot 3) = \log_2 2^2 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3$

Подставим и сделаем замену $x = \log_2 3$:

$$ (3 + \log_2 3)(5 + \log_2 3) - (6 + \log_2 3)(2 + \log_2 3) = (3 + x)(5 + x) - (6 + x)(2 + x) $$

$$ = (15 + 3x + 5x + x^2) - (12 + 6x + 2x + x^2) = (15 + 8x + x^2) - (12 + 8x + x^2) = 15 - 12 = 3 $$

Ответ: 3