Номер 38, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.38. Найдите значение выражения $5^{\log_{16}(28 - 16\sqrt{3}) + \log_4(4 + 2\sqrt{3})}$.

Для решения данной задачи необходимо упростить показатель степени в выражении $5^{\log_{16}(28 - 16\sqrt{3}) + \log_4(4 + 2\sqrt{3})}$.

Обозначим показатель степени как $P$:

$P = \log_{16}(28 - 16\sqrt{3}) + \log_4(4 + 2\sqrt{3})$

1. Приведение логарифмов к одному основанию.

Заметим, что основания логарифмов $16$ и $4$ связаны соотношением $16 = 4^2$. Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$:

$\log_{16}(28 - 16\sqrt{3}) = \log_{4^2}(28 - 16\sqrt{3}) = \frac{1}{2}\log_4(28 - 16\sqrt{3})$

Теперь выражение для показателя $P$ принимает вид:

$P = \frac{1}{2}\log_4(28 - 16\sqrt{3}) + \log_4(4 + 2\sqrt{3})$

2. Упрощение выражения под логарифмом.

Воспользуемся свойством логарифма $k\log_a(b) = \log_a(b^k)$ для первого слагаемого:

$P = \log_4((28 - 16\sqrt{3})^{1/2}) + \log_4(4 + 2\sqrt{3}) = \log_4(\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}) + \log_4(4 + 2\sqrt{3})$

Теперь упростим радикал $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}$, представив подкоренное выражение как полный квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Мы ищем такие $a$ и $b$, что:

• $a^2 + b^2 = 28$
• $2ab = 16\sqrt{3}$, что эквивалентно $ab = 8\sqrt{3}$

Легко видеть, что значения $a=4$ и $b=2\sqrt{3}$ удовлетворяют этим условиям, так как:

$a^2 + b^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28$.

Таким образом, $28 - 16\sqrt{3} = (4 - 2\sqrt{3})^2$.

Тогда:

$\sqrt{28 - 16\sqrt{3}} = \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2} = |4 - 2\sqrt{3}|$

Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$, то $4 > 2\sqrt{3}$, и выражение $4 - 2\sqrt{3}$ положительно. Значит, $|4 - 2\sqrt{3}| = 4 - 2\sqrt{3}$.

3. Вычисление показателя степени.

Подставим упрощенное значение радикала в выражение для $P$:

$P = \log_4(4 - 2\sqrt{3}) + \log_4(4 + 2\sqrt{3})$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(xy)$:

$P = \log_4((4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}))$

Произведение в скобках вычисляется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4$

Итак, показатель степени равен:

$P = \log_4(4) = 1$

4. Вычисление исходного выражения.

Теперь, зная значение показателя степени, мы можем найти значение всего выражения:

$5^P = 5^1 = 5$

Ответ: 5