Номер 40, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.40. Найдите значение выражения $7\log_{\sqrt{ab}} \frac{\sqrt{a}}{b} + 3\log_{\sqrt{ab}} b^2 + \frac{3,2}{\log_b a}$, если $\log_a b = 0,25.$

Для нахождения значения данного выражения необходимо последовательно его упростить, используя свойства логарифмов, и подставить заданное значение $\log_a b = 0,25$.

1. Упрощение суммы логарифмов

Первые два слагаемых в выражении имеют одинаковое основание логарифма $\sqrt{ab}$. Объединим их, предварительно внеся коэффициенты под знак логарифма, используя свойство $k \cdot \log_c x = \log_c (x^k)$, а затем свойство суммы логарифмов $\log_c x + \log_c y = \log_c (x \cdot y)$.

$$7\log_{\sqrt{ab}} \frac{\sqrt[7]{a}}{b} + 3\log_{\sqrt{ab}} b^2 = \log_{\sqrt{ab}} \left(\frac{\sqrt[7]{a}}{b}\right)^7 + \log_{\sqrt{ab}} (b^2)^3$$

$$= \log_{\sqrt{ab}} \frac{a}{b^7} + \log_{\sqrt{ab}} b^6 = \log_{\sqrt{ab}} \left(\frac{a}{b^7} \cdot b^6\right) = \log_{\sqrt{ab}} \frac{a}{b}$$

Таким образом, исходное выражение принимает вид: $\log_{\sqrt{ab}} \frac{a}{b} + \frac{3.2}{\log_b a}$.

2. Вычисление значения первого слагаемого $\log_{\sqrt{ab}} \frac{a}{b}$

Для вычисления этого логарифма перейдем к основанию $a$ по формуле перехода к новому основанию $\log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c}$:

$$\log_{\sqrt{ab}} \frac{a}{b} = \frac{\log_a(a/b)}{\log_a(\sqrt{ab})}$$

Теперь раскроем логарифмы в числителе и знаменателе, используя $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$, $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ и $\log_a a = 1$:

• Числитель: $\log_a(a/b) = \log_a a - \log_a b = 1 - \log_a b$
• Знаменатель: $\log_a(\sqrt{ab}) = \log_a((ab)^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_a(ab) = \frac{1}{2}(\log_a a + \log_a b) = \frac{1}{2}(1 + \log_a b)$

Подставим полученные выражения обратно в дробь и используем известное значение $\log_a b = 0.25$:

$$\frac{1 - \log_a b}{\frac{1}{2}(1 + \log_a b)} = \frac{1 - 0.25}{\frac{1}{2}(1 + 0.25)} = \frac{0.75}{0.5 \cdot 1.25} = \frac{0.75}{0.625}$$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 1000:

$$\frac{750}{625} = \frac{6 \cdot 125}{5 \cdot 125} = \frac{6}{5}$$

Так как $\frac{6}{5}$ — это неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $\frac{6}{5} = \mathbf{1}\frac{1}{5}$.

3. Вычисление значения второго слагаемого $\frac{3.2}{\log_b a}$

Используем свойство логарифма $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$, чтобы выразить $\log_b a$ через $\log_a b$:

$$\frac{3.2}{\log_b a} = 3.2 \cdot \frac{1}{\log_b a} = 3.2 \cdot \log_a b$$

Подставим известное значение $\log_a b = 0.25$:

$$3.2 \cdot 0.25 = 3.2 \cdot \frac{1}{4} = 0.8 = \frac{4}{5}$$

4. Итоговый расчет

Сложим полученные значения двух слагаемых:

$$\mathbf{1}\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1 + \left(\frac{1}{5} + \frac{4}{5}\right) = 1 + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$$

$7\log_{\sqrt{ab}} \frac{\sqrt[7]{a}}{b} + 3\log_{\sqrt{ab}} b^2 + \frac{3,2}{\log_b a}$ Ответ: 2