Номер 36, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.36. Найдите значение выражения $4\log_{\sqrt{ab}} \left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right) + 3\log_{\sqrt{ab}} b^2 - \frac{2}{\log_b a}$,

если известно, что $\log_a b = 6$.

Для нахождения значения выражения $4\log_{\sqrt{ab}}\left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right) + 3\log_{\sqrt{ab}} b^2 - \frac{2}{\log_b a}$ при условии, что $\log_a b = 6$, выполним следующие шаги.

1. Упрощение первых двух слагаемых.

Первые два слагаемых имеют одинаковое основание логарифма $\sqrt{ab}$. Используем свойство логарифма $n\log_c x = \log_c x^n$ и свойство суммы логарифмов $\log_c x + \log_c y = \log_c(xy)$:

$4\log_{\sqrt{ab}}\left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right) + 3\log_{\sqrt{ab}} b^2 = \log_{\sqrt{ab}}\left(\left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right)^4\right) + \log_{\sqrt{ab}}\left((b^2)^3\right)$

Выполним возведение в степень под знаками логарифмов:

$\log_{\sqrt{ab}}\left(\frac{a^2}{b^4}\right) + \log_{\sqrt{ab}}(b^6)$

Теперь сложим логарифмы, перемножив их аргументы:

$\log_{\sqrt{ab}}\left(\frac{a^2}{b^4} \cdot b^6\right) = \log_{\sqrt{ab}}(a^2b^2) = \log_{\sqrt{ab}}((ab)^2)$

2. Вычисление полученного логарифма.

Используем свойство логарифма $\log_{c^k} x^m = \frac{m}{k}\log_c x$. В нашем случае основание $c^k = \sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$ (где $c=ab, k=1/2$) и аргумент $x^m = (ab)^2$ (где $x=ab, m=2$).

$\log_{(ab)^{1/2}}((ab)^2) = \frac{2}{1/2} \log_{ab}(ab) = 4 \cdot 1 = 4$

Таким образом, сумма первых двух слагаемых выражения равна 4.

3. Упрощение третьего слагаемого.

Третье слагаемое равно $-\frac{2}{\log_b a}$. Воспользуемся формулой замены основания логарифма: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

$-\frac{2}{\log_b a} = -2 \cdot \log_a b$

4. Вычисление итогового значения.

Теперь мы можем записать все выражение в упрощенном виде и подставить известное значение $\log_a b = 6$.

Исходное выражение = (сумма первых двух слагаемых) + (третье слагаемое) = $4 - 2\log_a b$.

Подставляем $\log_a b = 6$:

$4 - 2 \cdot 6 = 4 - 12 = -8$

Ответ: -8