Номер 42, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.42. Постройте график функции

$y = \log_2 \operatorname{tg} x + \log_2 \operatorname{ctg} x.$

Для построения графика функции $y = \log_2 \tg x + \log_2 \ctg x$ необходимо последовательно выполнить анализ функции: найти область определения, упростить выражение и описать итоговый график.

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Логарифмическая функция $\log_a b$ определена только при условии, что её аргумент $b$ строго положителен ($b > 0$). Для данной функции должны одновременно выполняться два условия:

• $\tg x > 0$
• $\ctg x > 0$

Поскольку $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, условие $\ctg x > 0$ равносильно условию $\tg x > 0$. Таким образом, достаточно решить одно неравенство: $\tg x > 0$.

Функция тангенса положительна в первой и третьей координатных четвертях. Это соответствует интервалам:

$x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

2. Упрощение выражения функции

На найденной области определения можно применить свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a M + \log_a N = \log_a(M \cdot N)$.

$y = \log_2 (\tg x \cdot \ctg x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$, которое справедливо для всех $x$ из области определения, подставим значение произведения в функцию:

$y = \log_2(1)$

Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Следовательно:

$y = 0$

3. Построение и описание графика

Мы получили, что на всей своей области определения функция тождественно равна нулю ($y=0$). Это означает, что её график полностью лежит на оси абсцисс (оси Ox).

Однако, функция определена не для всех $x$, а только на интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, график функции представляет собой бесконечную последовательность интервалов, лежащих на оси Ox. Например:

... $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, $(2\pi, \frac{5\pi}{2})$, ...

Концевые точки этих интервалов, то есть точки с абсциссами $x = \frac{\pi k}{2}$ (где $k \in \mathbb{Z}$), не принадлежат области определения, поэтому на графике они изображаются "выколотыми" (пустыми) точками.

Ответ: Графиком функции $y = \log_2 \tg x + \log_2 \ctg x$ является прямая $y=0$, из которой исключены точки с абсциссами $x = \frac{\pi k}{2}$ для всех целых $k$. Это объединение интервалов $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$, лежащих на оси Ox.