Номер 5, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.5. Сравните с единицей значение выражения:

а) $log_{5} 4$;

б) $log_{6} 7$;

в) $log_{\frac{1}{7}} 3$;

г) $log_{0.9} \frac{2}{3}$.

Для сравнения значения логарифма $\log_a b$ с единицей, необходимо сравнить аргумент логарифма $b$ с его основанием $a$, учитывая свойство монотонности логарифмической функции. Единицу всегда можно представить в виде логарифма, у которого аргумент равен основанию: $1 = \log_a a$.

• Если основание $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей. Это значит, что чем больше аргумент, тем больше значение логарифма.
  • Если $b > a$, то $\log_a b > \log_a a$, следовательно $\log_a b > 1$.
  • Если $b < a$, то $\log_a b < \log_a a$, следовательно $\log_a b < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это значит, что чем больше аргумент, тем меньше значение логарифма.
  • Если $b > a$, то $\log_a b < \log_a a$, следовательно $\log_a b < 1$.
  • Если $b < a$, то $\log_a b > \log_a a$, следовательно $\log_a b > 1$.

а) Сравним $\log_5 4$ с единицей.
Основание логарифма $a=5$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Аргумент логарифма $b=4$.
Сравниваем аргумент с основанием: $4 < 5$.
Так как функция возрастающая и аргумент меньше основания, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $\log_5 4 < 1$.

б) Сравним $\log_6 7$ с единицей.
Основание логарифма $a=6$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Аргумент логарифма $b=7$.
Сравниваем аргумент с основанием: $7 > 6$.
Так как функция возрастающая и аргумент больше основания, значение выражения больше единицы.
Ответ: $\log_6 7 > 1$.

в) Сравним $\log_{\frac{1}{7}} 3$ с единицей.
Основание логарифма $a=\frac{1}{7}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Аргумент логарифма $b=3$.
Сравниваем аргумент с основанием: $3 > \frac{1}{7}$.
Так как функция убывающая и аргумент больше основания, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $\log_{\frac{1}{7}} 3 < 1$.

г) Сравним $\log_{0,9} \frac{2}{3}$ с единицей.
Основание логарифма $a=0,9$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Аргумент логарифма $b=\frac{2}{3}$.
Сравним аргумент с основанием. Для этого представим $0,9$ в виде дроби $\frac{9}{10}$ и приведем обе дроби к общему знаменателю:
$b = \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30}$
$a = 0,9 = \frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{27}{30}$
Получаем, что $\frac{20}{30} < \frac{27}{30}$, следовательно, $\frac{2}{3} < 0,9$.
Так как функция убывающая и аргумент меньше основания, значение выражения больше единицы.
Ответ: $\log_{0,9} \frac{2}{3} > 1$.