Номер 7, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.7. Найдите два последовательных целых числа, между которыми на координатной прямой находится число:

а) $\log_2 33$;

б) $\lg 9999$;

в) $\log_5 0,041$.

Для решения этой задачи нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, между которыми находится значение заданного логарифма. Это эквивалентно решению двойного неравенства $n < \log_a b < n+1$. Используя свойство монотонности логарифмической функции (если основание $a > 1$, то функция возрастает), это неравенство можно переписать как $a^n < b < a^{n+1}$. Наша цель — найти такое целое $n$.

Нам нужно найти два последовательных целых числа, между которыми находится $\log_2 33$. Для этого мы должны найти такое целое число $n$, что $n < \log_2 33 < n+1$. Это неравенство равносильно неравенству $2^n < 33 < 2^{n+1}$. Рассмотрим степени числа 2:
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
Из этого ряда видно, что $32 < 33 < 64$. Следовательно, мы можем записать неравенство: $2^5 < 33 < 2^6$. Так как основание логарифма 2 больше 1, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Поэтому мы можем прологарифмировать все части неравенства по основанию 2, сохранив знаки:
$\log_2(2^5) < \log_2 33 < \log_2(2^6)$
Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^k) = k$, получаем:
$5 < \log_2 33 < 6$
Таким образом, число $\log_2 33$ находится на координатной прямой между целыми числами 5 и 6.

Ответ: 5 и 6.

Нам нужно найти два последовательных целых числа, между которыми находится $\lg 9999$. Напомним, что $\lg$ — это обозначение десятичного логарифма, то есть логарифма по основанию 10 ($\lg x = \log_{10} x$). Мы ищем целое число $n$, для которого выполняется $n < \lg 9999 < n+1$. Это эквивалентно неравенству $10^n < 9999 < 10^{n+1}$. Рассмотрим степени числа 10:
$10^3 = 1000$
$10^4 = 10000$
Очевидно, что $1000 < 9999 < 10000$. Значит, $10^3 < 9999 < 10^4$. Так как основание логарифма 10 больше 1, функция $y = \lg x$ возрастающая. Прологарифмируем неравенство по основанию 10:
$\lg(10^3) < \lg 9999 < \lg(10^4)$
Используя свойство $\log_a(a^k) = k$, получаем:
$3 < \lg 9999 < 4$
Таким образом, число $\lg 9999$ находится на координатной прямой между целыми числами 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

Нам нужно найти два последовательных целых числа, между которыми находится $\log_5 0,041$. Ищем целое число $n$ такое, что $n < \log_5 0,041 < n+1$. Это эквивалентно неравенству $5^n < 0,041 < 5^{n+1}$. Так как аргумент логарифма $0,041$ находится в интервале $(0, 1)$, значение логарифма будет отрицательным. Поэтому будем рассматривать отрицательные степени числа 5:
$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04$
$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} = 0,008$
Сравнивая, получаем, что $0,04 < 0,041 < 0,2$. Подставляя степени пятерки, имеем: $5^{-2} < 0,041 < 5^{-1}$. Так как основание логарифма 5 больше 1, функция $y = \log_5 x$ является возрастающей. Прологарифмируем неравенство по основанию 5:
$\log_5(5^{-2}) < \log_5 0,041 < \log_5(5^{-1})$
Используя свойство $\log_a(a^k) = k$, получаем:
$-2 < \log_5 0,041 < -1$
Таким образом, число $\log_5 0,041$ находится на координатной прямой между целыми числами -2 и -1.

Ответ: -2 и -1.