Лабораторная работа 1, страница 4 - гдз по физике 11 класс тетрадь для лабораторных работ Жилко, Маркович

1. Какую длину $l$ имеет математический маятник, период колебаний которого $T = 1,0$ с?

Дано:

$T = 1.0$ с

$g = 9.81$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$l$

Решение

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Для того чтобы найти длину $l$, выразим ее из этой формулы. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$T^2 = (2\pi)^2 \left(\sqrt{\frac{l}{g}}\right)^2$$

$$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$$

Теперь выразим $l$:

$$l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$$

Подставим известные значения:

$$l = \frac{(1.0 \text{ с})^2 \cdot 9.81 \text{ м/с}^2}{4\pi^2}$$

$$l = \frac{1.0 \cdot 9.81}{4 \cdot (3.14159)^2}$$

$$l = \frac{9.81}{4 \cdot 9.8696}$$

$$l = \frac{9.81}{39.4784}$$

$$l \approx 0.2485 \text{ м}$$

Округлим значение до двух значащих цифр, что соответствует точности исходных данных.

Ответ:

Длина математического маятника, период колебаний которого $1,0$ с, составляет приблизительно $0.25$ м.

2. Как изменится период колебания маятника, если массу шарика увеличить в 2 раза, а длину нити маятника уменьшить в 4 раза?

Дано:

Начальный период колебаний маятника: $T_1$

Начальная масса шарика: $m_1$

Начальная длина нити маятника: $l_1$

Конечная масса шарика: $m_2 = 2m_1$

Конечная длина нити маятника: $l_2 = l_1 / 4$

Найти:

Как изменится период колебаний $T_2$ относительно $T_1$.

Решение

Период колебаний математического маятника при малых углах отклонения определяется формулой:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Из этой формулы видно, что период колебаний математического маятника зависит только от его длины $l$ и ускорения свободного падения $g$. Он не зависит от массы шарика.

Рассмотрим начальный период $T_1$:

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$$

Теперь рассмотрим новый период $T_2$ при изменении условий. Увеличение массы шарика в 2 раза ($m_2 = 2m_1$) не влияет на период колебаний математического маятника. Длина нити уменьшается в 4 раза, то есть $l_2 = l_1 / 4$.

Подставим новую длину в формулу для периода:

$$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$$

$$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_1 / 4}{g}}$$

$$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{l_1}{g}}$$

Вынесем константу из-под корня:

$$T_2 = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{l_1}{g}}$$

$$T_2 = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{l_1}{g}}$$

$$T_2 = \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$$

Сравнивая $T_2$ с $T_1$, мы видим, что $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$. Таким образом, $T_2 = \frac{1}{2} T_1$.

Следовательно, период колебаний маятника уменьшится в 2 раза.

Ответ:

Период колебаний маятника уменьшится в 2 раза. Увеличение массы шарика не влияет на период колебаний математического маятника (при малых углах отклонения), а уменьшение длины нити в 4 раза приводит к уменьшению периода в $\sqrt{4} = 2$ раза.