Номер 4, страница 31 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

4. Какой должна быть длина $l$ математического маятника, подвешенного в вагоне, чтобы он раскачивался наиболее сильно при движении вагона со скоростью, модуль которой $v = 67,5 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$? Расстояние между стыками рельсов $L = 12,5 \text{ м}$.

Дано:

Скорость вагона $v = 67,5 \frac{км}{ч}$
Расстояние между стыками рельсов $L = 12,5 \ м$
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$

Переведем данные в систему СИ:
$v = 67,5 \frac{км}{ч} = 67,5 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = 18,75 \frac{м}{с}$

Найти:

Длину маятника $l$.

Решение:

Маятник в вагоне будет раскачиваться наиболее сильно при явлении резонанса. Резонанс наступает, когда период собственных колебаний маятника $T$ совпадает с периодом действия внешней вынуждающей силы $T_{вын}$.

Внешняя сила действует на маятник периодически, когда колеса вагона проходят стыки рельсов. Следовательно, период вынуждающей силы $T_{вын}$ равен времени, за которое вагон проезжает расстояние $L$ между стыками.

Найдем период вынуждающей силы:

$T_{вын} = \frac{L}{v}$

Период собственных колебаний математического маятника определяется по формуле Томсона:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Условие резонанса: $T = T_{вын}$.

$2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} = \frac{L}{v}$

Чтобы найти длину маятника $l$, выразим ее из этого уравнения. Сначала возведем обе части в квадрат:

$(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}})^2 = (\frac{L}{v})^2$

$4 \pi^2 \frac{l}{g} = \frac{L^2}{v^2}$

Теперь выразим $l$:

$l = \frac{g L^2}{4 \pi^2 v^2} = g \left(\frac{L}{2 \pi v}\right)^2$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$l = 9,8 \frac{м}{с^2} \cdot \left(\frac{12,5 \ м}{2 \pi \cdot 18,75 \frac{м}{с}}\right)^2 \approx 9,8 \cdot \left(\frac{12,5}{117,81}\right)^2 \approx 9,8 \cdot (0,1061)^2 \approx 9,8 \cdot 0,011257 \approx 0,11 \ м$

Ответ: длина математического маятника должна быть приблизительно $0,11 \ м$ или $11 \ см$.