Номер 1, страница 31 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

1. Нарисуйте график затухающих колебаний груза на пружине, если амплитуда каждого следующего колебания уменьшается в $n = 1.5$ раза. Начальная амплитуда $A = 30$ мм, длительность одного колебания $T = 0.50$ с.

Дано:

$n = 1,5$
$A_0 = 30 \text{ мм}$
$T = 0,50 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$A_0 = 30 \text{ мм} = 0,03 \text{ м}$

Найти:

График зависимости смещения от времени $x(t)$.

Решение:

Затухающие колебания — это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени из-за потерь энергии. График таких колебаний представляет собой синусоиду (или косинусоиду), "вписанную" между двумя экспоненциально убывающими кривыми, которые являются огибающими.

Уравнение затухающих колебаний имеет вид: $x(t) = A_0 e^{-\delta t} \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A_0$ — начальная амплитуда, $\delta$ — коэффициент затухания, $\omega$ — циклическая частота.

Для построения графика сначала определим его ключевые параметры. Будем считать, что в начальный момент времени ($t=0$) смещение максимально, то есть колебания описываются косинусом ($\phi_0 = 0$).

1. Период и частота.
Период колебаний дан: $T = 0,50 \text{ с}$.
Циклическая частота: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,50 \text{ с}} = 4\pi \text{ рад/с}$.

2. Амплитуда.
Амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциальному закону $A(t) = A_0 e^{-\delta t}$. По условию, амплитуда каждого следующего колебания (то есть через время, равное периоду $T$) уменьшается в $n=1,5$ раза. Это значит, что $A(t+T) = \frac{A(t)}{n}$. $A_0 e^{-\delta(t+T)} = \frac{A_0 e^{-\delta t}}{n} \implies e^{-\delta T} = \frac{1}{n}$. Отсюда найдем коэффициент затухания $\delta$: $-\delta T = \ln(\frac{1}{n}) = -\ln(n) \implies \delta = \frac{\ln(n)}{T} = \frac{\ln(1,5)}{0,50 \text{ с}} \approx \frac{0,405}{0,50 \text{ с}} \approx 0,81 \text{ с}^{-1}$.

3. Расчет ключевых точек графика.
Рассчитаем значения смещения в моменты времени, соответствующие пикам и впадинам, а также точкам пересечения оси времени. Будем использовать исходное значение амплитуды в миллиметрах для удобства построения графика: $A_0 = 30 \text{ мм}$.

• При $t=0$: $x(0) = A_0 = 30 \text{ мм}$.
• При $t = T/4 = 0,125 \text{ с}$: $x(0,125) = 0$.
• При $t = T/2 = 0,25 \text{ с}$: $x(0,25) = -A(0,25) = -A_0 e^{-0,81 \cdot 0,25} \approx -30 \cdot 0,817 \approx -24,5 \text{ мм}$.
• При $t = 3T/4 = 0,375 \text{ с}$: $x(0,375) = 0$.
• При $t = T = 0,5 \text{ с}$: $x(0,5) = A(0,5) = A_0 e^{-0,81 \cdot 0,5} = \frac{A_0}{1,5} = \frac{30}{1,5} = 20 \text{ мм}$.
• При $t = 5T/4 = 0,625 \text{ с}$: $x(0,625) = 0$.
• При $t = 3T/2 = 0,75 \text{ с}$: $x(0,75) = -A(0,75) = -A_0 e^{-0,81 \cdot 0,75} \approx -30 \cdot 0,545 \approx -16,3 \text{ мм}$.
• При $t = 2T = 1,0 \text{ с}$: $x(1,0) = A(1,0) = A(0,5) / 1,5 = 20 / 1,5 \approx 13,3 \text{ мм}$.

На основе этих данных строим график зависимости смещения $x$ от времени $t$. По оси ординат откладываем смещение $x$ в мм, по оси абсцисс — время $t$ в с.

Ответ: График затухающих колебаний представлен выше. Он является косинусоидой с периодом $T=0,5 \text{ с}$, начальной амплитудой $A_0 = 30 \text{ мм}$ и амплитудой, убывающей по экспоненциальному закону так, что за каждый период она уменьшается в 1,5 раза.