Номер 1, страница 18, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Муравьева, Урбан

1. Найди с помощью палетки площади фигур.

Для нахождения площади фигур с помощью палетки необходимо мысленно наложить на них сетку из одинаковых квадратов (единичных квадратов) и подсчитать, сколько таких квадратов помещается внутри каждой фигуры. Для фигур со сложными контурами, как в задании, можно разбить их на более простые части (прямоугольники, квадраты, треугольники) или использовать методы подсчета для многоугольников на сетке.

Примем за единицу измерения (1 ед.) сторону наименьшего квадратного элемента на воображаемой сетке.

Розовая фигура

Эту фигуру можно разбить на несколько непересекающихся прямоугольников и квадратов. Определим их размеры в единицах длины (ед.) и вычислим площадь каждой части в квадратных единицах (кв. ед.).

1. Центральный горизонтальный прямоугольник: Его высота составляет 1 ед., а ширина — 5 ед. Площадь: $S_1 = 5 \times 1 = 5$ кв. ед.
2. Нижняя левая часть: Прямоугольник размером 2x2 ед. Площадь: $S_2 = 2 \times 2 = 4$ кв. ед.
3. Нижняя правая часть: Прямоугольник размером 2x2 ед. Площадь: $S_3 = 2 \times 2 = 4$ кв. ед.
4. Верхний левый выступ: Квадрат размером 1x1 ед. Площадь: $S_4 = 1 \times 1 = 1$ кв. ед.
5. Верхняя правая часть: Прямоугольник размером 2x2 ед. Площадь: $S_5 = 2 \times 2 = 4$ кв. ед.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей:

$S_{розовая} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = 5 + 4 + 4 + 1 + 4 = 18$ кв. ед.

Ответ: Площадь розовой фигуры равна 18 квадратным единицам.

Зеленая фигура

Эта фигура имеет наклонные стороны, что усложняет простое разбиение. Для точного нахождения площади таких фигур на сетке можно использовать формулу Пика. Сначала определим координаты вершин многоугольника на воображаемой сетке, а затем посчитаем количество целочисленных точек внутри ($I$) и на границе ($B$) фигуры. Площадь вычисляется по формуле:

$S = I + \frac{B}{2} - 1$

Разместим фигуру в системе координат. Вершины будут иметь следующие координаты:

$(-2, 0), (4, 0), (6, 2), (9, 2), (8, 3), (5, 3), (3, 5), (0, 5), (-2, 3), (-3, 3), (-3, 2), (-2, 2)$

1. Подсчет точек на границе ($B$):

• Количество вершин: 12.
• Количество целочисленных точек между вершинами на отрезках границы: 15.
• Всего точек на границе: $B = 12 + 15 = 27$.

2. Подсчет точек внутри фигуры ($I$):

• На линии y=1: 6 точек.
• На линии y=2: 7 точек.
• На линии y=3: 6 точек.
• На линии y=4: 4 точки.
• Всего точек внутри: $I = 6 + 7 + 6 + 4 = 23$.

3. Вычисление площади по формуле Пика:

$S_{зеленая} = 23 + \frac{27}{2} - 1 = 23 + 13.5 - 1 = 36.5 - 1 = 35.5$ кв. ед.

Другой способ — это подсчет полных клеток и половинок клеток. Фигура состоит из 23 полных квадратных клеток и нескольких треугольников и трапеций на границе, общая площадь которых составляет 12.5 кв. ед. Суммарная площадь: $23 + 12.5 = 35.5$ кв. ед.

Ответ: Площадь зеленой фигуры равна 35.5 квадратным единицам.