вопрос, страница 83, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Муравьева, Урбан

Почему при умножении в столбик сначала умножают единицы первого разряда?

Умножение в столбик — это удобный и наглядный алгоритм, основанный на распределительном свойстве умножения и десятичной системе счисления, где важен порядок действий. Начинать умножение с единиц первого разряда (самого правого) необходимо для правильной и простой обработки переносов в старшие разряды.

Давайте разберемся на примере. Любое число можно представить как сумму его разрядных слагаемых. Например, число 347 — это $300 + 40 + 7$. Если мы умножаем его, скажем, на 5, то по распределительному закону мы должны сделать следующее:

$5 \times 347 = 5 \times (300 + 40 + 7) = (5 \times 300) + (5 \times 40) + (5 \times 7)$

Метод умножения в столбик делает то же самое, но в очень упорядоченной манере. Порядок "справа налево" является ключом к его простоте.

Рассмотрим умножение $347 \times 5$ в столбик:

1. Шаг 1: Умножаем единицы.
   Мы умножаем 5 на единицы числа 347, то есть на 7.
   $5 \times 7 = 35$.
   Число 35 состоит из 5 единиц и 3 десятков. Мы записываем 5 в итоговый разряд единиц, а 3 десятка "переносим" (запоминаем), чтобы добавить их на следующем шаге к десяткам.
2. Шаг 2: Умножаем десятки.
   Мы умножаем 5 на десятки числа 347, то есть на 4.
   $5 \times 4 = 20$.
   Мы получили 20 десятков. Теперь к ним нужно добавить те 3 десятка, которые мы "перенесли" с предыдущего шага.
   $20 + 3 = 23$ десятка.
   Это 3 десятка и 2 сотни. Мы записываем 3 в итоговый разряд десятков, а 2 сотни "переносим" в следующий разряд.
3. Шаг 3: Умножаем сотни.
   Мы умножаем 5 на сотни числа 347, то есть на 3.
   $5 \times 3 = 15$.
   Мы получили 15 сотен. Добавляем к ним 2 сотни, которые "перенесли" ранее.
   $15 + 2 = 17$ сотен.
   Записываем 17 в оставшиеся старшие разряды.

В итоге получаем ответ: 1735.

Как видите, каждый "перенос" удобно добавляется к результату следующего, более старшего разряда. Этот поток вычислений идет строго в одном направлении — справа налево.

А что было бы, если начать слева?

Попробуем умножить $347 \times 5$ слева направо:

1. $5 \times 3$ (сотни) $= 15$ сотен. Мы бы записали 15...
2. $5 \times 4$ (десятки) $= 20$ десятков. Это 2 сотни и 0 десятков. Теперь нам нужно добавить эти 2 сотни к уже записанному числу, то есть исправить 15 на $15+2=17$. Результат стал 170..
3. $5 \times 7$ (единицы) $= 35$ единиц. Это 3 десятка и 5 единиц. Снова нужно вернуться и исправить уже записанные цифры: добавить 3 к десяткам. $0 + 3 = 3$.

Результат тот же (1735), но сам процесс требует постоянных исправлений уже записанных чисел, что крайне неудобно и легко ведет к ошибкам. Порядок "справа налево" исключает эту проблему.

Ответ: Умножение в столбик начинают с единиц (младшего разряда), потому что это позволяет систематически обрабатывать "переносы" в старшие разряды. При умножении цифр одного разряда может получиться число, занимающее два разряда (например, $7 \times 8 = 56$). Младшая цифра этого результата (6) остается в текущем разряде, а старшая (5) "переносится" в следующий, более старший разряд. Если начинать умножение со старших разрядов, то эти переносы пришлось бы добавлять к уже записанным числам, что потребовало бы исправлений и усложнило бы вычисления. Порядок справа налево делает алгоритм простым и логичным.