Номер 42, страница 261 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

42. Пользуясь основным свойством пропорции, решите уравнение:

а) $2 : y = 2,5 : 1,25;$

б) $x : 4 = \frac{1}{4} : 5;$

в) $\frac{3}{5} = \frac{2,4}{x};$

г) $\frac{-4,5}{18} = \frac{x}{-2,5}.$

а) Исходное уравнение: $2 : y = 2,5 : 1,25$. Пропорцию можно записать в виде равенства дробей: $\frac{2}{y} = \frac{2,5}{1,25}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство записывается как $a \cdot d = b \cdot c$. Применяя это свойство к нашему уравнению, получаем:$2 \cdot 1,25 = y \cdot 2,5$Выполним вычисления в левой части уравнения:$2,5 = 2,5 \cdot y$Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $2,5$:$y = \frac{2,5}{2,5}$$y = 1$Ответ: $1$.

б) Исходное уравнение: $x : 4 = \frac{1}{4} : 5$. Запишем данную пропорцию в виде равенства дробей: $\frac{x}{4} = \frac{1/4}{5}$. Воспользуемся основным свойством пропорции:$x \cdot 5 = 4 \cdot \frac{1}{4}$Выполним умножение в правой части:$5x = 1$Найдем $x$, разделив обе части на $5$:$x = \frac{1}{5}$Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{3}{5} = \frac{2,4}{x}$. Применим основное свойство пропорции (правило креста):$3 \cdot x = 5 \cdot 2,4$Выполним умножение в правой части:$3x = 12$Найдем $x$, разделив обе части на $3$:$x = \frac{12}{3}$$x = 4$Ответ: $4$.

г) Исходное уравнение: $\frac{-4,5}{18} = \frac{x}{-2,5}$. Используем основное свойство пропорции:$-4,5 \cdot (-2,5) = 18 \cdot x$Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:$4,5 \cdot 2,5 = 18x$Вычислим произведение в левой части:$11,25 = 18x$Найдем $x$:$x = \frac{11,25}{18}$Для упрощения расчетов представим десятичную дробь $11,25$ в виде обыкновенной: $11,25 = 11\frac{25}{100} = 11\frac{1}{4} = \frac{44+1}{4} = \frac{45}{4}$. Теперь уравнение для $x$ выглядит так:$x = \frac{\frac{45}{4}}{18} = \frac{45}{4 \cdot 18}$Сократим дробь. И числитель $45$, и знаменатель $18$ делятся на $9$:$x = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 2 \cdot 9}$$x = \frac{5}{4 \cdot 2}$$x = \frac{5}{8}$Ответ: $\frac{5}{8}$.