Номер 4, страница 31 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

4. Положительное число увеличивается в 19 раз, если в его десятичной записи поменять местами цифры, стоящие на первом и третьем местах после запятой. Найдите третью цифру после запятой в десятичной записи этого числа.

Пусть исходное положительное число равно $X$. Представим его в виде десятичной дроби:

$X = N . d_1 d_2 d_3 d_4 \dots = N + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} + \frac{d_3}{1000} + \dots$

где $N$ — целая часть, а $d_1, d_2, d_3, \dots$ — цифры после запятой.

Новое число $Y$ получается, если поменять местами первую ($d_1$) и третью ($d_3$) цифры после запятой:

$Y = N . d_3 d_2 d_1 d_4 \dots = N + \frac{d_3}{10} + \frac{d_2}{100} + \frac{d_1}{1000} + \dots$

По условию задачи, новое число в 19 раз больше исходного:

$Y = 19X$

Для решения этого уравнения выделим часть числа, которая не меняется при перестановке цифр. Обозначим её через $A$:

$A = N + \frac{d_2}{100} + \frac{d_4}{10000} + \dots$

Тогда исходное и новое числа можно записать как:

$X = A + \frac{d_1}{10} + \frac{d_3}{1000}$

$Y = A + \frac{d_3}{10} + \frac{d_1}{1000}$

Подставим эти выражения в уравнение $Y = 19X$:

$A + \frac{d_3}{10} + \frac{d_1}{1000} = 19 \left( A + \frac{d_1}{10} + \frac{d_3}{1000} \right)$

Решим это уравнение относительно $A$:

$A + \frac{100d_3 + d_1}{1000} = 19A + \frac{19(100d_1 + d_3)}{1000}$

$18A = \frac{100d_3 + d_1}{1000} - \frac{1900d_1 + 19d_3}{1000}$

$18A = \frac{(100-19)d_3 - (1900-1)d_1}{1000} = \frac{81d_3 - 1899d_1}{1000}$

$A = \frac{81d_3 - 1899d_1}{18000}$

Поскольку число $X$ положительное, его составляющие неотрицательны ($N \ge 0, d_i \ge 0$), а значит и $A \ge 0$. Чтобы $A$ было неотрицательным, числитель дроби должен быть неотрицательным:

$81d_3 - 1899d_1 \ge 0 \implies 81d_3 \ge 1899d_1$

Цифры $d_1$ и $d_3$ — это целые числа от 0 до 9. Максимальное возможное значение для $81d_3$ равно $81 \times 9 = 729$. Если предположить, что $d_1 \ge 1$, то $1899d_1 \ge 1899$. В этом случае неравенство $729 \ge 1899$ будет ложным. Следовательно, единственная возможность для выполнения неравенства — это $d_1 = 0$.

При $d_1 = 0$ выражение для $A$ упрощается:

$A = \frac{81d_3}{18000} = \frac{9d_3}{2000}$

Теперь сравним это с определением $A = N + \frac{d_2}{100} + \frac{d_4}{10000} + \dots$. Максимальное значение $A$ (при $d_3=9$) равно $\frac{9 \times 9}{2000} = \frac{81}{2000} = 0.0405$. Так как $A < 1$, целая часть $N$ должна быть равна 0.

Таким образом, мы получаем уравнение:

$\frac{d_2}{100} + \frac{d_4}{10000} + \frac{d_5}{100000} + \dots = \frac{9d_3}{2000}$

Чтобы найти цифры, умножим обе части на 1000:

$10d_2 + \frac{d_4}{10} + \frac{d_5}{100} + \dots = \frac{9000d_3}{2000} = 4.5 d_3$

Приравняем целые и дробные части этого равенства. Целая часть левой стороны — $10d_2$, а дробная — $0.d_4d_5\dots$.

Это приводит к двум условиям:

1. $10d_2 = \lfloor 4.5 d_3 \rfloor$ (равенство целых частей)
2. $0.d_4d_5\dots = 4.5 d_3 - \lfloor 4.5 d_3 \rfloor$ (равенство дробных частей)

Рассмотрим второе условие. Дробная часть выражения $4.5d_3$ может быть либо 0 (если $d_3$ — чётное), либо 0.5 (если $d_3$ — нечётное).

• Случай 1: $d_3$ — чётное. Дробная часть равна 0. Это означает, что $d_4=0, d_5=0, \dots$. Первое уравнение принимает вид $10d_2 = 4.5d_3$, или $20d_2 = 9d_3$. Так как 20 и 9 взаимно просты, $d_2$ должно быть кратно 9, а $d_3$ — кратно 20. Единственная цифра, кратная 20, — это 0. Но если $d_3=0$, то и $d_1=d_2=d_3=0$, что делает $X=0$, а это противоречит условию, что число положительное. Значит, $d_3$ не может быть чётным.
• Случай 2: $d_3$ — нечётное. Дробная часть равна 0.5. Это означает, что $0.d_4d_5\dots = 0.5$, откуда следует, что $d_4 = 5$ и $d_5=d_6=\dots=0$. Первое уравнение — $10d_2 = \lfloor 4.5 d_3 \rfloor$. Проверим нечётные значения для $d_3 \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$:
  • Если $d_3=1$, $10d_2 = \lfloor 4.5 \rfloor = 4$. Нет целого решения для $d_2$.
  • Если $d_3=3$, $10d_2 = \lfloor 13.5 \rfloor = 13$. Нет целого решения для $d_2$.
  • Если $d_3=5$, $10d_2 = \lfloor 22.5 \rfloor = 22$. Нет целого решения для $d_2$.
  • Если $d_3=7$, $10d_2 = \lfloor 31.5 \rfloor = 31$. Нет целого решения для $d_2$.
  • Если $d_3=9$, $10d_2 = \lfloor 40.5 \rfloor = 40$. Отсюда $d_2 = 4$. Это подходящее решение.

Таким образом, мы нашли единственный набор цифр: $d_1=0, d_2=4, d_3=9, d_4=5$. Исходное число $X=0.0495$.

В задаче требуется найти третью цифру после запятой в десятичной записи этого числа, то есть $d_3$.

Ответ: 9