Номер 5, страница 31 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Определите, какие числа скрыты за буквами, если одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным буквам — разные цифры:

$\frac{\text{ДЫ}}{\text{РЫ}} = 0,\text{ТРИТРИТРИ}...$

Для решения данной задачи представим исходное равенство в математическом виде. Пусть ДЫ, РЫ — это двузначные числа, а ТРИ — трехзначное. Буквы Д, Р, Т не могут быть нулем.

Исходное уравнение:

$$ \frac{ДЫ}{РЫ} = 0,ТРИТРИТРИ... $$

1. Преобразование периодической дроби

Бесконечную периодическую дробь $0,(ТРИ)$ можно представить в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 0,(ТРИ)$, тогда $1000x = ТРИ,(ТРИ)$. Вычитая из второго уравнения первое, получаем $999x = ТРИ$, откуда $x = \frac{ТРИ}{999}$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$$ \frac{ДЫ}{РЫ} = \frac{ТРИ}{999} $$

2. Анализ уравнения

Разложим знаменатель $999$ на простые множители: $999 = 9 \cdot 111 = 3^3 \cdot 37$.

Пусть дробь $\frac{ДЫ}{РЫ}$ после сокращения на наибольший общий делитель равна несократимой дроби $\frac{a}{b}$. Тогда из равенства $\frac{a}{b} = \frac{ТРИ}{999}$ следует, что $b$ должно быть делителем числа $999$.

Так как РЫ — это двузначное число и оно получается умножением $b$ на некоторый общий множитель, $b$ не может быть трехзначным числом (111, 333, 999). Также, если $b=1, 3$ или $9$, то число ТРИ будет состоять из одинаковых цифр ($ТРИ=999a$, $ТРИ=333a$ или $ТРИ=111a$), что противоречит условию о разных буквах. Следовательно, в знаменателе $b$ должен присутствовать множитель 37. Возможные значения для $b$: $27$ или $37$.

3. Разбор случаев

Случай A: $b = 27$

Тогда $\frac{ДЫ}{РЫ} = \frac{a}{27}$. Отсюда следует, что число РЫ должно быть кратно 27. Возможные двузначные значения для РЫ:

• $РЫ = 1 \cdot 27 = 27 \implies Р=2, Ы=7$. В этом случае $ДЫ = 1 \cdot a = a$. $ДЫ$ должно оканчиваться на $Ы=7$. Из $ТРИ = \frac{999}{27} \cdot a = 37a$ и условия, что ТРИ - трехзначное число, следует $a \le 27$. Учитывая, что $a$ должно оканчиваться на 7 и не делиться на 3 (т.к. дробь $a/27$ несократима), единственным кандидатом является $a=17$.
  Проверяем: $ДЫ=17 \implies Д=1$. Цифры $Д=1, Р=2, Ы=7$ различны.
  $ТРИ = 37 \cdot 17 = 629 \implies Т=6, Р=2, И=9$. Значение $Р=2$ совпадает. Все цифры $Д=1, Ы=7, Р=2, Т=6, И=9$ различны. Это первое решение.
• $РЫ = 2 \cdot 27 = 54 \implies Р=5, Ы=4$. В этом случае $ДЫ = 2a$. $ДЫ$ должно оканчиваться на $Ы=4$, значит $a$ оканчивается на 2 или 7. $a \le 27$. Кандидаты для $a$ (не кратные 3): 7, 17, 22.
  Проверяем $a=7$: $ДЫ = 2 \cdot 7 = 14 \implies Д=1$. Цифры $Д=1, Р=5, Ы=4$ различны.
  $ТРИ = 37 \cdot 7 = 259 \implies Т=2, Р=5, И=9$. Значение $Р=5$ совпадает. Все цифры $Д=1, Ы=4, Р=5, Т=2, И=9$ различны. Это второе решение.
• $РЫ = 3 \cdot 27 = 81 \implies Р=8, Ы=1$. В этом случае $ДЫ = 3a$. $ДЫ$ должно оканчиваться на 1, значит $a$ оканчивается на 7. Проверка кандидатов $a=7, 17$ приводит к противоречиям.

Случай Б: $b = 37$

Тогда $\frac{ДЫ}{РЫ} = \frac{a}{37}$. Отсюда РЫ кратно 37. Возможные двузначные значения: $РЫ=37$ или $РЫ=74$. Систематический перебор вариантов для $a$ в обоих подслучаях показывает, что решений нет (возникают противоречия, такие как равенство цифр для разных букв или несовпадение значения цифры Р в числах РЫ и ТРИ).

Итог

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Решение 1

Проверка: $ \frac{17}{27} = 0.629629... = 0,(629) $. Значит, ТРИ = 629.

• Д: Ответ: 1
• Ы: Ответ: 7
• Р: Ответ: 2
• Т: Ответ: 6
• И: Ответ: 9

Решение 2

Проверка: $ \frac{14}{54} = \frac{7}{27} $. $ \frac{ТРИ}{999} = \frac{259}{999} = \frac{7 \cdot 37}{27 \cdot 37} = \frac{7}{27} $. Равенство выполняется, ТРИ = 259.

• Д: Ответ: 1
• Ы: Ответ: 4
• Р: Ответ: 5
• Т: Ответ: 2
• И: Ответ: 9