Номер 2.469, страница 105, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.469. Сейчас между автомобилями, движущимися навстречу друг другу, 126 км, и встретятся они через 1415 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них составляет 80 % скорости другого.

2.469

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }126 : \frac{14}{15} =\stackrel{15}{ \cancel{126}} · \frac{15}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} = 9 · 15 =135$ (км/ч) – скорость сближения автомобилей;

Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, тогда 0,8х км/ч – скорость второго автомобиля. Зная, что скорость сближения равна 135 км/ч составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 0,8х = 135; \\ (1 + 0,8) х = 135; \\ 1,8х = 135; \\ х = 135 : 1,8; \\ х = 1350 : 18; \end{gathered}$$

$х = 75$(км/ч) – скорость 1 автомобиля;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,8 · 75 = 60$(км/ч) – скорость 2 автомобиля.

Ответ: 75 км/ч и 60 км/ч.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала найти общую скорость сближения автомобилей, а затем, зная их суммарную скорость и соотношение скоростей, вычислить скорость каждого автомобиля в отдельности.

1. Нахождение скорости сближения

Скорость сближения – это скорость, с которой сокращается расстояние между двумя объектами, движущимися навстречу друг другу. Она равна сумме их скоростей. Чтобы найти скорость сближения ($v_{сбл}$), нужно разделить общее расстояние ($S$) на время встречи ($t$).

Дано:

$S = 126$ км

$t = \frac{14}{15}$ ч

Вычисляем скорость сближения:

$v_{сбл} = \frac{S}{t} = 126 \div \frac{14}{15} = 126 \cdot \frac{15}{14}$

Сократим 126 и 14 (так как $126 = 9 \cdot 14$):

$v_{сбл} = 9 \cdot 15 = 135$ км/ч.

Таким образом, сумма скоростей двух автомобилей составляет 135 км/ч.

2. Нахождение скорости каждого автомобиля

Пусть скорость одного автомобиля равна $v_1$, а скорость второго — $v_2$. Из предыдущего шага мы знаем, что:

$v_1 + v_2 = 135$

По условию задачи, скорость одного из них составляет 80% скорости другого. Представим 80% в виде десятичной дроби: $80\% = 0.8$. Пусть $v_2$ будет скоростью более медленного автомобиля, тогда:

$v_2 = 0.8 \cdot v_1$

Подставим это выражение в уравнение для суммы скоростей:

$v_1 + 0.8 \cdot v_1 = 135$

$1.8 \cdot v_1 = 135$

Теперь найдем $v_1$:

$v_1 = \frac{135}{1.8} = \frac{1350}{18} = 75$ км/ч.

Мы нашли скорость одного автомобиля. Теперь найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = 135 - v_1 = 135 - 75 = 60$ км/ч.

Проверим, выполняется ли условие о 80%: $\frac{60}{75} = \frac{4}{5} = 0.8$, что соответствует 80%.

Ответ: скорость одного автомобиля 75 км/ч, а скорость другого — 60 км/ч.