Номер 3.181, страница 152, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3.181. Вместо звёздочек расставьте цифры от 1 до 9 так, чтобы выполнялось равенство.

** · * = *** = * · **

3.181

39 ∙ 4 = 156 = 2 ∙ 78.

Заданное равенство имеет вид $** \cdot * = *** = * \cdot **$. Это означает, что мы ищем такое трёхзначное число, которое можно представить в виде произведения двузначного числа на однозначное двумя разными способами. При этом все девять цифр, участвующих в записи этого равенства, должны быть различными и принадлежать множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Обозначим равенство в виде $AB \cdot C = DEF = G \cdot HI$, где $A, B, C, D, E, F, G, H, I$ — это различные цифры от 1 до 9. Наша задача — найти эти цифры. Мы будем искать подходящее трёхзначное число $N = DEF$, которое имеет как минимум два разложения на множители вида «двузначное число $\times$ однозначное число», и при этом совокупность всех девяти цифр, составляющих оба разложения и само число $N$, будет состоять из всех цифр от 1 до 9 без повторений.

Рассмотрим в качестве кандидата число $N=174$. Его цифры ($1, 7, 4$) различны и не равны нулю. Найдём его разложения на множители, где один множитель — однозначное число, а второй — двузначное:

$174 = 2 \cdot 87$

$174 = 3 \cdot 58$

$174 = 6 \cdot 29$

Теперь необходимо выбрать два из этих разложений и проверить, удовлетворяют ли они главному условию об уникальности всех девяти используемых цифр. Возьмём пару разложений $3 \cdot 58 = 174$ и $6 \cdot 29 = 174$. Составим из них итоговое равенство в соответствии с шаблоном: $58 \cdot 3 = 174 = 29 \cdot 6$.

Проверим набор цифр, которые использованы для записи этого равенства. Цифры двузначного множителя $58$ — это $\{5, 8\}$. Цифра однозначного множителя $3$ — это $\{3\}$. Цифры результата $174$ — это $\{1, 7, 4\}$. Цифры второго двузначного множителя $29$ — это $\{2, 9\}$. И цифра второго однозначного множителя $6$ — это $\{6\}$.

Объединив все эти цифры, мы получим множество $\{5, 8, 3, 1, 7, 4, 2, 9, 6\}$. Как мы видим, это множество в точности совпадает с множеством всех цифр от 1 до 9, и каждая цифра в нем уникальна. Следовательно, найденное равенство является решением задачи.

Ответ: $58 \cdot 3 = 174 = 29 \cdot 6$. Также верным будет вариант $29 \cdot 6 = 174 = 58 \cdot 3$.