Номер 31, страница 125, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

В.31. Что значит разделить с остатком одно число на другое?

В.31

Разделить с остатком число а на число b, это значит, найти такие числа q и r, что $\mathrm{а} = \mathrm{b} · \mathrm{q} + \mathrm{r}.$

Разделить с остатком целое число a (делимое) на натуральное число b (делитель) — это значит найти такие два целых числа q (неполное частное) и r (остаток), которые удовлетворяют двум условиям.

1. Равенство

Числа должны быть связаны формулой:
$a = b \cdot q + r$
Эта формула показывает, что делимое можно представить как сумму произведения делителя на неполное частное и остатка.

2. Условие для остатка

Остаток r должен быть неотрицательным и строго меньше делителя b:
$0 \le r < b$
Это условие гарантирует, что для любой пары чисел a и b существует единственная пара чисел q и r. Если бы остаток мог быть больше или равен делителю, то его можно было бы «разделить» на делитель еще раз, увеличив частное.

Пример

Разделим 23 на 5 с остатком.
Здесь делимое $a = 23$, а делитель $b = 5$.

1. Нам нужно найти наибольшее число, которое при умножении на 5 даст результат, не превышающий 23. Это число 4, так как $5 \cdot 4 = 20$, а $5 \cdot 5 = 25$ (что уже больше 23). Значит, неполное частное $q = 4$.

2. Теперь найдем остаток. Для этого вычтем из делимого произведение делителя на неполное частное:
$r = a - b \cdot q = 23 - 5 \cdot 4 = 23 - 20 = 3$.
Итак, остаток $r = 3$.

3. Проверим условия:
- Равенство: $23 = 5 \cdot 4 + 3$. Это верно, так как $20 + 3 = 23$.
- Условие для остатка: $0 \le 3 < 5$. Это также верно.

Таким образом, при делении 23 на 5 получается неполное частное 4 и остаток 3.

Если остаток $r=0$, то говорят, что число a делится на число b нацело (без остатка).

Ответ: Разделить число a на число b с остатком — это значит представить число a в виде $a = b \cdot q + r$, где q — неполное частное, а r — остаток, причем остаток должен быть неотрицательным и строго меньше делителя b ($0 \le r < b$).