Номер 27, страница 125, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

В.27. Сформулируйте основное свойство пропорции. Приведите примеры его использования.

В.27

Произведение крайних членов пропорции равно произведению их средних членов.

$$\begin{gathered} 12 : 6 = х : 3 \\ 6х = 12 · 3 \\ 6х = 36 \\ х = 36 : 6 \\ х = 6 \end{gathered}$$

Сформулируйте основное свойство пропорции

Пропорция — это равенство двух отношений. Пропорцию можно записать как $a : b = c : d$ или в виде равенства дробей:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

В этой записи числа $a$ и $d$ называют крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ — средними членами.

Основное свойство пропорции заключается в следующем: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов.

Для пропорции, записанной в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, основное свойство выражается формулой:

$a \cdot d = b \cdot c$

Это свойство также называют «правилом креста», так как для его применения можно мысленно провести две линии, соединяющие крайние и средние члены, которые образуют крест. Оно является ключевым инструментом для решения уравнений и задач, сводящихся к пропорциям.

Ответ: В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Если пропорция задана равенством $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то её основное свойство записывается как $a \cdot d = b \cdot c$.

Приведите примеры его использования

1. Нахождение неизвестного члена пропорции (решение уравнения)

Необходимо найти значение $x$ в уравнении, представленном в виде пропорции: $\frac{x}{8} = \frac{5}{2}$.

Здесь крайние члены — это $x$ и $2$, а средние члены — $8$ и $5$.

Применяем основное свойство пропорции:

$x \cdot 2 = 8 \cdot 5$

$2x = 40$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{40}{2}$

$x = 20$

Ответ: $x = 20$.

2. Решение текстовых задач

Для выпечки 6 одинаковых кексов требуется 300 грамм муки. Сколько грамм муки понадобится для выпечки 10 таких же кексов?

Пусть $y$ — искомое количество муки в граммах. Составим пропорцию, в которой отношение количества кексов к количеству муки будет одинаковым в обоих случаях:

$\frac{6 \text{ кексов}}{300 \text{ г}} = \frac{10 \text{ кексов}}{y \text{ г}}$

Запишем пропорцию без единиц измерения: $\frac{6}{300} = \frac{10}{y}$.

Применим основное свойство (произведение крайних членов равно произведению средних):

$6 \cdot y = 300 \cdot 10$

$6y = 3000$

Найдем $y$:

$y = \frac{3000}{6}$

$y = 500$

Таким образом, для 10 кексов понадобится 500 грамм муки.

Ответ: 500 грамм.

3. Проверка верности пропорции

Нужно определить, верно ли равенство $4:5 = 12:15$.

Запишем в виде дробей: $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$.

Крайние члены: $4$ и $15$.

Средние члены: $5$ и $12$.

Согласно основному свойству, пропорция верна, если произведение крайних членов равно произведению средних. Проверим это:

Произведение крайних членов: $4 \cdot 15 = 60$.

Произведение средних членов: $5 \cdot 12 = 60$.

Поскольку $60 = 60$, равенство является верной пропорцией.

Ответ: Да, пропорция верна, так как произведение крайних членов ($4 \cdot 15 = 60$) равно произведению средних членов ($5 \cdot 12 = 60$).