Номер 4, страница 94 - гдз по физике 7 класс учебник Исаченкова, Громыко

4. Под действием двух чугунных кубиков объемом $V = 0,10 \text{ дм}^3$ каждый пружина растянулась на $l = 5 \text{ см}$. На сколько растянется пружина, если к ней подвесить чугунную деталь массой $m_2 = 1,4 \text{ кг}$?

Дано:

$n = 2$ (количество кубиков)
$V = 0,10 \text{ дм}^3$ (объем одного кубика)
$l_1 = 5 \text{ см}$ (растяжение от кубиков)
$m_2 = 1,4 \text{ кг}$ (масса детали)
$\rho = 7000 \text{ кг/м}^3$ (плотность чугуна, справочное значение)

$V = 0,10 \text{ дм}^3 = 0,10 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 0,1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 10^{-4} \text{ м}^3$
$l_1 = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

$l_2$ — растяжение пружины от детали.

Решение:

Вначале определим массу двух чугунных кубиков ($m_1$), которые вызвали первоначальное растяжение пружины. Для этого сначала найдем их общий объем $V_{общ}$.

Общий объем двух кубиков:

$V_{общ} = n \cdot V = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Зная общий объем и плотность чугуна, вычислим массу кубиков:

$m_1 = \rho \cdot V_{общ} = 7000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 1,4 \text{ кг}$

Растяжение пружины подчиняется закону Гука, согласно которому сила упругости $F_{упр}$ пропорциональна растяжению $l$: $F_{упр} = k \cdot l$, где $k$ — коэффициент жесткости пружины. В состоянии равновесия сила упругости уравновешивает силу тяжести $F_{тяж} = m \cdot g$.

Таким образом, для обоих случаев можно записать:

1) Для двух кубиков: $m_1 \cdot g = k \cdot l_1$
2) Для чугунной детали: $m_2 \cdot g = k \cdot l_2$

Поскольку жесткость пружины $k$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными, растяжение пружины $l$ прямо пропорционально массе подвешенного груза $m$.

Из вычислений мы получили, что масса двух кубиков $m_1 = 1,4 \text{ кг}$. По условию задачи, масса чугунной детали $m_2$ также равна $1,4 \text{ кг}$.

Так как $m_1 = m_2$, то и силы, действующие на пружину, равны. Следовательно, растяжение пружины во втором случае будет таким же, как и в первом.

$l_2 = l_1 = 5 \text{ см}$

Это также можно показать, разделив второе уравнение на первое:

$\frac{m_2 \cdot g}{m_1 \cdot g} = \frac{k \cdot l_2}{k \cdot l_1} \implies \frac{m_2}{m_1} = \frac{l_2}{l_1}$

$l_2 = l_1 \cdot \frac{m_2}{m_1} = 5 \text{ см} \cdot \frac{1,4 \text{ кг}}{1,4 \text{ кг}} = 5 \text{ см}$

Ответ: пружина растянется на 5 см.