Номер 3, страница 112 - гдз по физике 7 класс учебник Исаченкова, Громыко

3. Почему гидростатическое давление не зависит от площади дна сосуда?

Почему гидростатическое давление не зависит от площади дна сосуда?

Решение

Чтобы понять, почему гидростатическое давление не зависит от площади дна сосуда, необходимо рассмотреть вывод формулы для этого давления.

Давление ($p$) по определению — это физическая величина, равная отношению силы ($F$), действующей перпендикулярно на некоторую поверхность, к площади ($S$) этой поверхности:

$p = \frac{F}{S}$

В случае жидкости, налитой в сосуд, сила ($F$), действующая на дно, — это вес ($P$) столба жидкости, находящегося над этим дном. Следовательно:

$F = P$

Вес жидкости вычисляется как произведение ее массы ($m$) на ускорение свободного падения ($g$):

$P = m \cdot g$

Массу жидкости ($m$) можно выразить через ее плотность ($\rho$) и объем ($V$):

$m = \rho \cdot V$

Для сосуда с вертикальными стенками (например, цилиндрического) объем столба жидкости ($V$) равен произведению площади его основания (дна сосуда, $S$) на высоту столба жидкости ($h$):

$V = S \cdot h$

Теперь последовательно подставим эти выражения в исходную формулу для давления. Сначала заменим силу $F$ на вес $P$, затем вес $P$ на произведение $m \cdot g$, массу $m$ на $\rho \cdot V$ и, наконец, объем $V$ на $S \cdot h$:

$p = \frac{F}{S} = \frac{P}{S} = \frac{m \cdot g}{S} = \frac{\rho \cdot V \cdot g}{S} = \frac{\rho \cdot (S \cdot h) \cdot g}{S}$

В полученном выражении мы видим, что площадь дна ($S$) присутствует как в числителе, так и в знаменателе. Поэтому она сокращается:

$p = \frac{\rho \cdot \cancel{S} \cdot h \cdot g}{\cancel{S}}$

В результате мы получаем окончательную формулу для расчета гидростатического давления:

$p = \rho gh$

Как видно из этой формулы, гидростатическое давление зависит только от трех величин: плотности жидкости ($\rho$), ускорения свободного падения ($g$) и высоты столба жидкости ($h$). Площадь дна сосуда ($S$) в эту формулу не входит, так как она сократилась в процессе вывода. Это означает, что для одной и той же жидкости при одинаковой высоте ее уровня давление на дно будет одинаковым, независимо от формы сосуда и площади его дна. Этот факт известен как гидростатический парадокс.

Ответ: Гидростатическое давление не зависит от площади дна сосуда, потому что при выводе его формулы ($p = P/S$) вес столба жидкости ($P = \rho g h S$) прямо пропорционален площади дна ($S$). В результате этого площадь в числителе и знаменателе дроби сокращается, и в итоговой формуле ($p = \rho gh$) зависимость от площади дна исчезает.