Номер 42, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

42. Найдите область определения выражения

$\sqrt{x^2 - 4x - 12} + \sqrt{4 - x^2}$

Область определения выражения находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными (большими или равными нулю), так как извлекать корень четной степени можно только из неотрицательных чисел. Это приводит к системе неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\4 - x^2 \ge 0\end{cases}$$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решаем первое неравенство: $x^2 - 4x - 12 \ge 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -12$

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, \infty)$.

2. Решаем второе неравенство: $4 - x^2 \ge 0$.
Перепишем неравенство в виде $x^2 \le 4$.
Это неравенство равносильно $|x| \le 2$, что в свою очередь означает $-2 \le x \le 2$.
Решение второго неравенства: $x \in [-2, 2]$.

3. Находим область определения исходного выражения.
Областью определения является пересечение решений обоих неравенств. Найдем общие точки для множеств $x \in (-\infty, -2] \cup [6, \infty)$ и $x \in [-2, 2]$.
Единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно, — это $x = -2$.

Таким образом, область определения данного выражения состоит из единственного числа.

Ответ: $\{-2\}$