Номер 38, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

38. Найдите значения аргумента, при которых значения функции $f(x) = -x^2 + 3x + 22$ больше соответствующих значений функции $g(x) = 4x + 2$.

Для нахождения значений аргумента, при которых значения функции $f(x)$ больше значений функции $g(x)$, необходимо решить неравенство $f(x) > g(x)$.

Запишем это неравенство, подставив выражения для функций:

$-x^2 + 3x + 22 > 4x + 2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду:

$-x^2 + 3x - 4x + 22 - 2 > 0$

$-x^2 - x + 20 > 0$

Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + x - 20 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 20 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корни уравнения разделяют числовую ось на три интервала. Поскольку мы решаем неравенство $x^2 + x - 20 < 0$, нас интересуют те значения $x$, при которых парабола $y = x^2 + x - 20$ находится ниже оси абсцисс. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, значения функции будут отрицательными между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-5; 4)$.

Ответ: значения аргумента, при которых значения функции $f(x)$ больше соответствующих значений функции $g(x)$, принадлежат интервалу $(-5; 4)$.