Номер 39, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

39. Найдите сумму наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решений неравенства

$\frac{(x-3)^2}{16} - \frac{(x-2)^2}{4} \leq \frac{1-x}{2}.$

Для решения задачи сначала необходимо решить данное неравенство:

$$ \frac{(x-3)^2}{16} - \frac{(x-2)^2}{4} \le \frac{1-x}{2} $$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 16. Так как 16 является положительным числом, знак неравенства при этом не изменится.

$$ 16 \cdot \frac{(x-3)^2}{16} - 16 \cdot \frac{(x-2)^2}{4} \le 16 \cdot \frac{1-x}{2} $$

$$ (x-3)^2 - 4(x-2)^2 \le 8(1-x) $$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, и упростим выражение:

$$ (x^2 - 6x + 9) - 4(x^2 - 4x + 4) \le 8 - 8x $$

$$ x^2 - 6x + 9 - 4x^2 + 16x - 16 \le 8 - 8x $$

$$ -3x^2 + 10x - 7 \le 8 - 8x $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ -3x^2 + 10x + 8x - 7 - 8 \le 0 $$

$$ -3x^2 + 18x - 15 \le 0 $$

Чтобы упростить неравенство, разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$$ x^2 - 6x + 5 \ge 0 $$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни). Решением неравенства является объединение промежутков:

$$ x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty) $$

Теперь, согласно условию задачи, найдем требуемые значения.

Наибольшее целое отрицательное решение: из множества решений $(-\infty, 1]$ целыми отрицательными числами являются ..., -3, -2, -1. Наибольшее из них — это -1. Ответ: -1

Наименьшее целое положительное решение: из множества решений $(-\infty, 1] \cup [5, \infty)$ целыми положительными числами являются 1 (из первого промежутка), а также 5, 6, 7, ... (из второго). Наименьшее из всех этих чисел — это 1. Ответ: 1

Наконец, найдем сумму этих двух решений:

$$ (-1) + 1 = 0 $$

Ответ: 0