Номер 34, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

34. Точка A(2; 27) принадлежит графику функции $f(x) = -x^2 + bx + 1$. Найдите наибольшее значение функции.

По условию задачи, точка $A(2; 27)$ принадлежит графику функции $f(x) = -x^2 + bx + 1$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Используем это для нахождения коэффициента $b$.

Подставим $x = 2$ и $f(x) = 27$ в уравнение:

$27 = -(2)^2 + b \cdot 2 + 1$

$27 = -4 + 2b + 1$

$27 = 2b - 3$

$2b = 27 + 3$

$2b = 30$

$b = 15$

Теперь мы знаем полное уравнение функции: $f(x) = -x^2 + 15x + 1$.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = f(x_0)$

Найдём абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_0 = -\frac{15}{2 \cdot (-1)} = \frac{15}{2}$

Наибольшее значение функции — это ордината (координата $y$) вершины. Подставим $x_0 = \frac{15}{2}$ в уравнение функции:

$y_{max} = f(\frac{15}{2}) = -(\frac{15}{2})^2 + 15 \cdot (\frac{15}{2}) + 1$

$y_{max} = -\frac{225}{4} + \frac{225}{2} + 1$

Приведём дроби к общему знаменателю 4:

$y_{max} = -\frac{225}{4} + \frac{450}{4} + \frac{4}{4} = \frac{-225 + 450 + 4}{4} = \frac{229}{4}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{229}{4}$ в смешанное число:

$\frac{229}{4} = 57\frac{1}{4}$

Найдите наибольшее значение функции. Ответ: 57$\frac{1}{4}$