Номер 30, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

30. Найдите координаты вершины параболы и промежутки монотонности квадратичной функции:

a) $f(x) = (x - 4)^2 + 5;$

б) $g(x) = -(x + 2)^2 - 7;$

в) $h(x) = x^2 + 4;$

г) $p(x) = -3(x - 1)^2.$

Для нахождения координат вершины и промежутков монотонности квадратичной функции, представленной в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ (вершинная форма), используются следующие правила:

• Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0)$.
• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, \infty)$.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, \infty)$.

а) Для функции $f(x) = (x - 4)^2 + 5$:
Данная функция уже представлена в вершинной форме $f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $a=1$, $x_0=4$, $y_0=5$.
Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (4, 5)$.
Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, \infty)$.
Ответ: координаты вершины $(4, 5)$; функция убывает на $(-\infty, 4]$ и возрастает на $[4, \infty)$.

б) Для функции $g(x) = -(x + 2)^2 - 7$:
Функция представлена в виде $g(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $a=-1$, $x_0=-2$ (т.к. $x - (-2) = x+2$), $y_0=-7$.
Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (-2, -7)$.
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, -2]$ и убывает на промежутке $[-2, \infty)$.
Ответ: координаты вершины $(-2, -7)$; функция возрастает на $(-\infty, -2]$ и убывает на $[-2, \infty)$.

в) Для функции $h(x) = x^2 + 4$:
Перепишем функцию в вершинной форме: $h(x) = (x - 0)^2 + 4$. Здесь $a=1$, $x_0=0$, $y_0=4$.
Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (0, 4)$.
Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \infty)$.
Ответ: координаты вершины $(0, 4)$; функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, \infty)$.

г) Для функции $p(x) = -3(x - 1)^2$:
Перепишем функцию в вершинной форме: $p(x) = -3(x - 1)^2 + 0$. Здесь $a=-3$, $x_0=1$, $y_0=0$.
Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (1, 0)$.
Так как коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$.
Ответ: координаты вершины $(1, 0)$; функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, \infty)$.