Номер 27, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

27. Даны функции $f(x) = 4x^2 + 8x - 12$; $g(x) = 4(x + 1)^2 - 16$; $h(x) = 4(x - 1)(x + 3)$. Покажите, что $y = f(x)$; $y = g(x)$ и $y = h(x)$ являются тремя формами записи одной и той же функции.

Для доказательства того, что $y=f(x)$, $y=g(x)$ и $y=h(x)$ являются тремя формами записи одной и той же функции, мы приведем выражения для $g(x)$ и $h(x)$ к стандартному виду многочлена $ax^2+bx+c$, который имеет функция $f(x)=4x^2+8x-12$.

g(x) = 4(x + 1)² - 16:
Это вершинная форма квадратичной функции. Преобразуем ее к стандартному виду. Сначала раскроем квадрат суммы $(x + 1)^2$, используя формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:$$g(x) = 4(x^2 + 2x + 1) - 16$$Далее, раскроем скобки, умножив на 4:$$g(x) = 4x^2 + 8x + 4 - 16$$Приведем подобные слагаемые:$$g(x) = 4x^2 + 8x - 12$$Полученное выражение полностью совпадает с функцией $f(x)$.
Ответ: $4x^2+8x-12$

h(x) = 4(x - 1)(x + 3):
Это разложенная на множители форма. Преобразуем ее к стандартному виду. Сначала перемножим двучлены в скобках:$$h(x) = 4(x^2 + 3x - x - 3)$$Приведем подобные слагаемые внутри скобок:$$h(x) = 4(x^2 + 2x - 3)$$Далее, раскроем скобки, умножив на 4:$$h(x) = 4x^2 + 8x - 12$$Полученное выражение также полностью совпадает с функцией $f(x)$.
Ответ: $4x^2+8x-12$

Вывод:
Так как в результате алгебраических преобразований мы показали, что $g(x) = 4x^2 + 8x - 12$ и $h(x) = 4x^2 + 8x - 12$, то $f(x)=g(x)=h(x)$. Следовательно, данные выражения являются тремя формами записи одной и той же квадратичной функции.