Номер 28, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

28. Функция задана формулой $y = 3x^2 + 2x - 5$. Найдите:

а) значение функции при $x = -\frac{2}{3}$;

б) нули функции;

в) значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное 3.

Проходит ли график функции через точку $A(-4; 32)$?

а) значение функции при x = -2/3;
Чтобы найти значение функции, подставим $x = -\frac{2}{3}$ в формулу $y = 3x^2 + 2x - 5$:
$y = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{4}{3} - 5 = \frac{12}{9} - \frac{4}{3} - 5 = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - 5 = -5$.
Ответ: -5.

б) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для их нахождения решим квадратное уравнение $3x^2 + 2x - 5 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1$ и $-1\frac{2}{3}$.

в) значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное 3.
Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых $y=3$, решим уравнение $3x^2 + 2x - 5 = 3$.
Перенесем 3 в левую часть:
$3x^2 + 2x - 5 - 3 = 0$
$3x^2 + 2x - 8 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $-2$ и $1\frac{1}{3}$.

Проходит ли график функции через точку A(-4; 32)?
Чтобы проверить, проходит ли график функции через точку A(-4; 32), подставим ее координаты в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.
Подставим $x = -4$ в уравнение $y = 3x^2 + 2x - 5$:
$y = 3(-4)^2 + 2(-4) - 5 = 3 \cdot 16 - 8 - 5 = 48 - 13 = 35$.
Полученное значение $y=35$ не совпадает с ординатой точки A, которая равна 32 ($35 \neq 32$).
Ответ: нет, график функции не проходит через точку A(-4; 32).