Номер 24, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

24. Представьте квадратный трехчлен в виде произведения двух двучленов:

а) $6x^2 - x - 1;$

б) $-x^2 - 4x + 5.$

Для представления квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ в виде произведения двух двучленов используется формула разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а) $6x^2 - x - 1$

1. Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a = 6, b = -1, c = -1$.

2. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$

3. Найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

4. Подставим найденные корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$6x^2 - x - 1 = 6(x - \frac{1}{2})(x - (-\frac{1}{3})) = 6(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})$

5. Чтобы представить результат в виде произведения двучленов с целыми коэффициентами, распределим множитель 6 по скобкам. Так как $6 = 2 \cdot 3$, получим:
$6(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3}) = (2 \cdot (x - \frac{1}{2})) \cdot (3 \cdot (x + \frac{1}{3})) = (2x - 1)(3x + 1)$

Ответ: $(2x - 1)(3x + 1)$.

б) $-x^2 - 4x + 5$

1. Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 - 4x + 5 = 0$.
Коэффициенты: $a = -1, b = -4, c = 5$.

2. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36$

3. Найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot (-1)} = \frac{4 + 6}{-2} = \frac{10}{-2} = -5$
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot (-1)} = \frac{4 - 6}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$

4. Подставим найденные корни и коэффициент $a = -1$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$-x^2 - 4x + 5 = -1(x - (-5))(x - 1) = -(x + 5)(x - 1)$

5. Внесем знак "минус" в одну из скобок, например, во вторую:
$-(x + 5)(x - 1) = (x + 5)(-1 \cdot (x - 1)) = (x + 5)(-x + 1) = (x + 5)(1 - x)$

Ответ: $(x + 5)(1 - x)$.