Номер 18, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

18. Решите уравнение, не применяя формулы корней квадратного уравнения:

а) $x^2 - 11x + 18 = 0;$

б) $x^2 - 5x - 14 = 0;$

в) $x^2 - x - 6 = 0;$

г) $x^2 + 2x - 3 = 0;$

д) $x^2 + 4x - 21 = 0;$

е) $x^2 + 16x + 55 = 0.$

Для решения данных квадратных уравнений, не применяя формулу корней, воспользуемся теоремой Виета. Все представленные уравнения являются приведенными (коэффициент при $x^2$ равен 1), поэтому для них теорема Виета особенно удобна.

Согласно теореме Виета, для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$

Решим каждое уравнение, используя этот метод.

а) $x^2 - 11x + 18 = 0$

В этом уравнении $p = -11$ и $q = 18$. Составим систему для корней $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-11) = 11 \\ x_1 \cdot x_2 = 18 \end{cases}$

Методом подбора находим два числа, произведение которых равно 18, а сумма равна 11. Такими числами являются 2 и 9.

Проверка: $2 + 9 = 11$; $2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: 2; 9.

б) $x^2 - 5x - 14 = 0$

Здесь $p = -5$ и $q = -14$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-5) = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = -14 \end{cases}$

Произведение корней отрицательно, значит, они имеют разные знаки. Сумма положительна, значит, положительный корень имеет больший модуль. Подбираем числа: 7 и -2.

Проверка: $7 + (-2) = 5$; $7 \cdot (-2) = -14$.

Ответ: -2; 7.

в) $x^2 - x - 6 = 0$

Здесь $p = -1$ и $q = -6$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases}$

Корни имеют разные знаки, положительный корень по модулю больше. Подбираем числа: 3 и -2.

Проверка: $3 + (-2) = 1$; $3 \cdot (-2) = -6$.

Ответ: -2; 3.

г) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Здесь $p = 2$ и $q = -3$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases}$

Корни имеют разные знаки, отрицательный корень по модулю больше. Подбираем числа: -3 и 1.

Проверка: $-3 + 1 = -2$; $-3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: -3; 1.

д) $x^2 + 4x - 21 = 0$

Здесь $p = 4$ и $q = -21$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = -21 \end{cases}$

Корни имеют разные знаки, отрицательный корень по модулю больше. Подбираем числа: -7 и 3.

Проверка: $-7 + 3 = -4$; $-7 \cdot 3 = -21$.

Ответ: -7; 3.

е) $x^2 + 16x + 55 = 0$

Здесь $p = 16$ и $q = 55$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -16 \\ x_1 \cdot x_2 = 55 \end{cases}$

Произведение положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Подбираем числа: -5 и -11.

Проверка: $(-5) + (-11) = -16$; $(-5) \cdot (-11) = 55$.

Ответ: -5; -11.